Краевую задачу мало решить, её надо решить правильно, а для этого надо избежать ошибок на этапе постановки задачи как минимум. Мы рассмотрим пару типовых неточностей.

Согласование начальных и граничных условий

Первая типичная ошибка — задать начальное и граничные условия, которые не согласуются друг с другом на стыке. В нестационарной задаче решение ищется при $t \ge 0$ и $M \in G$; на границе $S$ при $t = 0$ — начальное и граничное условия описывают одну и ту же точку. Если они дают там разные значения, в этой точке возникает разрыв.

Рассмотрим задачу Дирихле с начальным условием $T(M, 0) = T_0(M)$ и граничным $T(M, t) = \Phi(M, t)$, $M \in S$. Условие согласования нулевого порядка требует совпадения данных

Если условие (2.19$$T_0(M) = \Phi(M, 0), \quad M \in S.$$) нарушено, ряд Фурье решения подходит к границе с разными пределами по $t$ и по $S$: сходимость неравномерна, появляется явление Гиббса, и классического (гладкого) решения не существует.

Но и выполнения (2.19$$T_0(M) = \Phi(M, 0), \quad M \in S.$$) недостаточно. Само уравнение $\frac{\partial T}{\partial t} = a^2 \cdot \Delta T$ связывает производные данных: продифференцировав граничное условие по времени и взяв $t = 0$, получаем условие согласования первого порядка

Аналогично строятся условия более высоких порядков; для решения класса $C^k$ нужно выполнение условий согласования примерно до порядка $k$. Их нарушение не делает задачу неразрешимой, но ограничивает гладкость решения — об этом легко забыть, формально выписав «любые» $T_0(M)$ и $\Phi(M, t)$. Для задачи Неймана условия согласования те же, но записываются для нормальной производной:

Условие разрешимости стационарной задачи Неймана

А здесь поговорим еще об условии разрешимости стационарной задачи Неймана. Во-первых, следует заметить, что решение задачи Неймана возможно с точностью до постоянной, которую можно определить для любой точки геометрии. Но главная проблема состоит в том, что для задачи Неймана важно соблюсти условие равенства нулю суммы потоков энергии входящих, исходящих, источников и утечек внутри геометрии. Если это условие не будет соблюдено, то решение будет иметь некорректный физический смысл. Например, что будет, если поток тепла будет входить в стержень, а вторая сторона его будет изолирована? Тогда температура будет бесконечно возрастать в установившемся режиме, которого по сути-то и не будет. На практике, конечно, такого быть не может в силу того, что стержень не одномерный и утечки тепла возможны через боковую поверхность, да и условия Неймана в чистом виде не существуют, но тем не менее модель должна быть корректной. Рассмотрим пример стационарной задачи Неймана. Производная по времени в уравнении (1.8$$\frac{\partial T(M, t)}{\partial t} = a^2 \cdot \Delta T(M, t) + f(M, t),$$) при этом обращается в нуль, и оно принимает вид

Краевые условия Неймана для него задаются граничным условием (1.14$$\lambda \cdot \frac{\partial T(M, t)}{\partial \vec{n}} = \Phi(M, t), \quad M \in S,$$).

Известна вторая формула Грина

Если принять $U(M) = -1$, то получим

Теперь подставим сюда уравнение (2.21$$a^2 \cdot \Delta T(M) + f(M) = 0,$$) и граничные условия (1.14$$\lambda \cdot \frac{\partial T(M, t)}{\partial \vec{n}} = \Phi(M, t), \quad M \in S,$$)

то есть количество тепла, выделяемое источниками внутри геометрии, равно количеству тепла, уходящему через границу. Если условие нарушено, то решение будет иметь некорректный физический смысл.