В данной главе мы построим общее решение краевой задачи теплопроводности методом разделения переменных (метод Фурье). Но прежде сделаем несколько вводных замечаний. Мы хотим решить неоднородное уравнение (1.8$$\frac{\partial T(M, t)}{\partial t} = a^2 \cdot \Delta T(M, t) + f(M, t),$$) с начальным условием $T_0(M)$ и неоднородными граничными условиями (1.13$$T(M, t) = \Phi(M, t), \quad M \in S.$$) и (1.14$$\lambda \cdot \frac{\partial T(M, t)}{\partial \vec{n}} = \Phi(M, t), \quad M \in S,$$). Решение в лоб может быть очень затруднительным, поэтому сначала надо избавиться от неоднородности граничных условий.

Представим решение в виде суммы $T(M, t) = \widehat{T}(M, t) + U(M, t)$, где $\widehat{T}(M, t)$ — решение задачи с однородными граничными условиями, а $U(M, t)$ — функция, которая будет вбирать в себя неоднородность граничных условий. Подставим сумму в уравнение (1.8$$\frac{\partial T(M, t)}{\partial t} = a^2 \cdot \Delta T(M, t) + f(M, t),$$) и получим

Вид функции $U(M, t)$ определим позже, когда будем рассматривать конкретные задачи, а пока заметим, что её можно выбрать в виде полинома, определённого с точностью до коэффициентов, которые находятся из граничных условий. Новая функция плотности тепловых источников имеет вид

Коэффициенты $U(M, t)$ для граничных условий Дирихле находятся подстановкой решения в граничные условия (1.13$$T(M, t) = \Phi(M, t), \quad M \in S.$$). Решение $\widehat{T}(M, t)$ удовлетворяет однородному условию Дирихле, то есть обращается в нуль на границе $S$, откуда

Аналогично, коэффициенты $U(M, t)$ для граничных условий Неймана находятся подстановкой решения в граничные условия (1.14$$\lambda \cdot \frac{\partial T(M, t)}{\partial \vec{n}} = \Phi(M, t), \quad M \in S,$$). Решение $\widehat{T}(M, t)$ удовлетворяет однородному условию Неймана, то есть его нормальная производная на границе $S$ обращается в нуль, откуда

Не забудем и про начальное условие, которое никаких коэффициентов не вычисляет, а просто перепишется в виде

После вычисления коэффициентов полиномиальной функции $U(M, t)$ неоднородная краевая задача с неоднородными граничными условиями сводится к неоднородной краевой задаче с однородными граничными условиями. Далее, чтобы несколько упростить запись, мы не будем писать hat над решением $\widehat{T}(M, t)$, начальным условием $\widehat{T}(M, 0)$ и функцией источников $\widehat{f}(M, t)$, обозначая их просто $T(M, t)$, $T(M, 0)$ и $f(M, t)$.

Теперь надо избавиться от неоднородности в самом уравнении, но в отличие от процедуры избавления от неоднородности в граничных условиях, тут пойдём с другой стороны: сначала решим однородное уравнение, а потом на его основе скажем, как решить неоднородное. Чтобы понять, что такой переход возможен, будем базироваться на теореме разложимости Стеклова, ведь именно она даёт тот базис, по которому всё дальше и раскладывается. Решив однородную задачу, мы получим набор её собственных функций. Теорема Стеклова утверждает, что эта система полна: всякая функция с непрерывной первой и кусочно-непрерывной второй производной, удовлетворяющая тем же однородным граничным условиям, например (1.16$$T(M, t) = 0, \quad M \in S.$$) или (1.17$$\lambda \cdot \frac{\partial T(M, t)}{\partial \vec{n}} = 0, \quad M \in S.$$), разлагается в равномерно сходящийся ряд по собственным функциям однородной задачи (1.9$$\frac{\partial T(M, t)}{\partial t} = a^2 \cdot \Delta T(M, t).$$). А значит, в том же базисе можно представить и искомое решение неоднородной задачи, и функцию источников: проектируя неоднородное уравнение на каждую собственную функцию и пользуясь их ортогональностью, мы сведём его к независимым обыкновенным уравнениям для коэффициентов — то есть построим решение неоднородной задачи на решении однородной.

Воспользуемся методом разделения переменных (метод Фурье). Будем искать решение уравнения (1.9$$\frac{\partial T(M, t)}{\partial t} = a^2 \cdot \Delta T(M, t).$$) в виде суммы произведений $T(M, t) = \sum_{n=1}^{\infty} \Psi_n(M) \cdot \phi_n(t)$, где каждое слагаемое — произведение функции только от геометрии на функцию только от времени. Уравнение линейно и однородно, поэтому достаточно потребовать, чтобы ему удовлетворяло каждое слагаемое в отдельности; рассмотрим одно произведение $\Psi(M) \cdot \phi(t)$ и подставим его в уравнение (1.9$$\frac{\partial T(M, t)}{\partial t} = a^2 \cdot \Delta T(M, t).$$) — получим

что после деления на $\Psi(M) \cdot \phi(t)$ приводит к

где $\gamma^2$ — константа. Действительно, левая часть равенства зависит только от времени, а правая — только от геометрии; функция времени может совпадать с функцией геометрии сразу при всех значениях времени и во всех точках области лишь тогда, когда обе они равны одной и той же постоянной — в этом и состоит суть разделения переменных. Знак минус перед ней выбран так, чтобы решение сходилось, в чём несложно убедиться, рассмотрев уравнение для времени. Конкретные значения этой константы мы определим дальше — из уравнения для геометрии.

Запишем уравнение для времени и его решение

где $A$ — константа.

Уравнение для геометрии имеет вид

Это однородное уравнение Гельмгольца. Для того, чтобы решить его, необходимо задать граничные условия. Подставим произведение $\Psi(M) \cdot \phi(t)$ в граничные условия (1.16$$T(M, t) = 0, \quad M \in S.$$) и (1.17$$\lambda \cdot \frac{\partial T(M, t)}{\partial \vec{n}} = 0, \quad M \in S.$$) соответственно и получим для условий Дирихле

и для условий Неймана

Понятно, что случай, когда $\phi(t) = 0$, не интересен, так как мы строим условия для геометрии, а не для времени. Уравнение (2.8$$\Delta \Psi(M) + \gamma^2 \cdot \Psi(M) = 0.$$) с граничными условиями (2.9$$\Psi(M) \cdot \phi(t) = 0 \Rightarrow \Psi(M) = 0, \quad M \in S,$$) и (2.10$$\frac{\partial \Psi(M)}{\partial \vec{n}} \cdot \phi(t) = 0 \Rightarrow \frac{\partial \Psi(M)}{\partial \vec{n}} = 0, \quad M \in S.$$) называется задачей Штурма — Лиувилля. Она хорошо изучена, и далее мы будем пользоваться её известными свойствами без доказательства (их можно найти в литературе). У этой задачи не одно, а счётное множество собственных значений, и каждому из них отвечает своя собственная функция; собственные функции, отвечающие разным собственным значениям, взаимно ортогональны и образуют полную систему.

Итак, задача Штурма — Лиувилля дала счётный набор собственных значений $\gamma_n^2$ и отвечающих им собственных функций $\Psi_n(M)$. Для моды с номером $n$ уравнение для времени даёт множитель $e^{- a^2 \cdot \gamma_n^2 \cdot t}$, так что $\Psi_n(M) \cdot e^{- a^2 \cdot \gamma_n^2 \cdot t}$ — частное решение уравнения (1.9$$\frac{\partial T(M, t)}{\partial t} = a^2 \cdot \Delta T(M, t).$$). Возвращаясь к сумме, с которой мы начали, и пользуясь линейностью, получаем общее решение

где $c_n$ — произвольные постоянные, вобравшие постоянные множители обеих частей каждого слагаемого. Полнота системы собственных функций (теорема Стеклова) гарантирует, что такой суммой можно представить любое допустимое решение.

Теперь надо определить коэффициенты $c_n$, для этого заметим, что решение должно удовлетворять начальному условию (2.4$$\widehat{T}(M, 0) = T_0(M) - U(M, 0).$$), а значит

Нетрудно заметить, что коэффициенты $c_n$ благодаря взаимной ортогональности собственных функций определяются однозначно — как коэффициенты разложения функции $T_0(M)$ в ряд Фурье по собственным функциям $\Psi_n(M)$ — по общей формуле (A.4$$c_n = \frac{\displaystyle \iiint_G \rho(M) \cdot f(M) \cdot \varphi_n(M) \,dG}{\displaystyle \iiint_G \rho(M) \cdot \varphi_n^2(M) \,dG}.$$) из приложения «Ряды Фурье»

где $\|\Psi_n(M)\|^2$ — квадрат нормы собственной функции, определяемый формулой (A.5$$\|\varphi_n\|^2 = \iiint_G \rho(M) \cdot \varphi_n^2(M) \,dG.$$).

Таким образом, мы получили решение уравнения (1.9$$\frac{\partial T(M, t)}{\partial t} = a^2 \cdot \Delta T(M, t).$$) с начальным условием $T_0(M)$ и однородными граничными условиями

Теперь мы можем переходить к решению неоднородного уравнения, которое, как мы уже говорили, в соответствии с теоремой разложимости Стеклова, может быть построено на основе решения однородной задачи. Для этого разложим функцию плотности тепловых источников $f(M, t)$ в ряд Фурье по собственным функциям $\Psi_n(M)$

где $\mu_n(t)$ — коэффициенты разложения функции $f(M, t)$ в ряд Фурье по собственным функциям $\Psi_n(M)$

Будем искать решение неоднородного уравнения в том же виде — суммой произведений $\sum_{n=1}^{\infty} \Psi_n(M) \cdot \phi_n(t)$. Подставим её вместе с разложением (2.14$$f(M, t) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu_n(t) \cdot \Psi_n(M),$$) в неоднородное уравнение (1.8$$\frac{\partial T(M, t)}{\partial t} = a^2 \cdot \Delta T(M, t) + f(M, t),$$); поскольку $\Delta \Psi_n(M) = - \gamma_n^2 \cdot \Psi_n(M)$, получаем

Геометрическая часть осталась прежней — это те же собственные функции $\Psi_n(M)$. Приравнивая коэффициенты при каждой $\Psi_n(M)$ (это законно в силу ортогональности), убеждаемся, что изменилось только уравнение для времени — в нём добавилось слагаемое $\mu_n(t)$:

Решение этого уравнения имеет вид

где $c_n$ — произвольные коэффициенты, равные коэффициентам, определённым в решении однородной задачи, так как вычисляются с помощью начального условия, а при $t = 0$ интеграл равен нулю.

Решение неоднородного уравнения с однородными граничными условиями примет вид

Можно было бы получить и решение неоднородного уравнения с неоднородными граничными условиями, но это достаточно громоздко — далее уже на конкретных примерах построим конечное решение.

При решении уравнений стационарных, а электромагнитное поле в общем-то стационарное, если не рассматриваются релятивистские эффекты, нам надо получить общее решение, без учёта времени, а для этого выполним предельный переход $t \rightarrow \infty$ в решении нестационарного уравнения. Заметим, что первый член решения сразу занулится, так как экспонента будет стремиться к нулю и начальные условия пропадут из решения, что более чем очевидно. Функция плотности тепловых источников перестаёт быть зависимой от времени априори. Остаётся только прояснить интеграл

Запишем общее решение для стационарного уравнения

А что делать, если $\gamma_n = 0$? На самом деле этот случай возможен, но его лучше рассматривать отдельно для каждого уравнения, что и сделаем в соответствующих главах.