A. Ряды Фурье — Метод конечных элементов

Здесь в самом общем виде напомним, как функция раскладывается в ряд по ортогональной системе функций — этим разложением мы пользуемся всюду, где решаем краевые задачи методом разделения переменных. Пусть в области $G$ задана система функций $\varphi_1(M), \varphi_2(M), \ldots$ , попарно ортогональных с весовой функцией $\rho(M) > 0$ , то есть

\iiint_G \rho(M) \cdot \varphi_n(M) \cdot \varphi_m(M) \,dG = 0, \quad n \neq m.

(A.1)

Функцию $f(M)$ называют разложимой по этой системе, если её можно представить сходящимся рядом

f(M) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \cdot \varphi_n(M).

(A.2)

Коэффициенты $c_n$ (их называют коэффициентами Фурье) находятся благодаря ортогональности. Умножим обе части (A.2) на $\rho(M) \cdot \varphi_m(M)$ и проинтегрируем по области $G$ . В силу ортогональности (A.1) в правой части уцелеет лишь одно слагаемое — с $n = m$ :

\iiint_G \rho(M) \cdot f(M) \cdot \varphi_n(M) \,dG = c_n \cdot \iiint_G \rho(M) \cdot \varphi_n^2(M) \,dG,

(A.3)

откуда коэффициенты разложения определяются однозначно:

c_n = \frac{\displaystyle \iiint_G \rho(M) \cdot f(M) \cdot \varphi_n(M) \,dG}{\displaystyle \iiint_G \rho(M) \cdot \varphi_n^2(M) \,dG}.

(A.4)

Знаменатель в формуле (A.4) — это квадрат нормы функции $\varphi_n$ :

\|\varphi_n\|^2 = \iiint_G \rho(M) \cdot \varphi_n^2(M) \,dG.

(A.5)

Формула (A.4) универсальна: какой бы ни была ортогональная система, коэффициенты разложения по ней вычисляются одинаково. В большинстве задач этого руководства вес $\rho(M) \equiv 1$ , и формула сводится к отношению интеграла от произведения $f \cdot \varphi_n$ к квадрату нормы $\varphi_n$ .

Краевые условия