A. Ряды Фурье

Здесь в самом общем виде напомним, как функция раскладывается в ряд по ортогональной системе функций — этим разложением мы пользуемся всюду, где решаем краевые задачи методом разделения переменных. Пусть в области $G$ задана система функций $\varphi_1(M), \varphi_2(M), \ldots$, попарно ортогональных с весовой функцией $\rho(M)$ $> 0$, то есть

Функцию $f(M)$ называют разложимой по этой системе, если её можно представить сходящимся рядом

Коэффициенты $c_n$ (их называют коэффициентами Фурье) находятся благодаря ортогональности. Умножим обе части (A.2$\displaystyle f(M)$ $\displaystyle = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \cdot \varphi_n(M).$) на $\rho(M) \cdot \varphi_m(M)$ и проинтегрируем по области $G$. В силу ортогональности (A.1$\displaystyle \iiint_G \rho(M) \cdot \varphi_n(M) \cdot \varphi_m(M) \,dG$ $\displaystyle = 0, \quad n$ $\displaystyle \neq m.$) в правой части уцелеет лишь одно слагаемое — с $n$ $= m$:

откуда коэффициенты разложения определяются однозначно:

Знаменатель в формуле (A.4$\displaystyle c_n$ $\displaystyle = \frac{\displaystyle \iiint_G \rho(M) \cdot f(M) \cdot \varphi_n(M) \,dG}{\displaystyle \iiint_G \rho(M) \cdot \varphi_n^2(M) \,dG}.$) — это квадрат нормы функции $\varphi_n$:

Формула (A.4$\displaystyle c_n$ $\displaystyle = \frac{\displaystyle \iiint_G \rho(M) \cdot f(M) \cdot \varphi_n(M) \,dG}{\displaystyle \iiint_G \rho(M) \cdot \varphi_n^2(M) \,dG}.$) универсальна: какой бы ни была ортогональная система, коэффициенты разложения по ней вычисляются одинаково. Вес $\rho(M)$ задаётся системой координат, в которой разделяются переменные: это множитель, с которым координата входит в элемент объёма (якобиан) и относительно которого ортогональна система $\{\varphi_n\}$. Для основных систем он равен: