Теперь вычислим вектор нагрузки для двумерного случая. Вектор нагрузки связан с интегралом произведения функции источника на пробную функцию. Рассмотрим интеграл для одного треугольника с вершинами $(x_i, y_i), (x_{i+1}, y_{i+1}), (x_{i+2}, y_{i+2})$

Пробная функция на треугольнике имеет вид $\upsilon_{(i)(i+2)}(x, y) = q_i \cdot \phi_i(x, y) + q_{i+1} \cdot \phi_{i+1}(x, y) + q_{i+2} \cdot \phi_{i+2}(x, y)$. Для вычисления интеграла необходимо интерполировать функцию источника $f(x, y)$ на треугольнике $\triangle$ линейной функцией. Представим $f(x, y)$ в виде $\widetilde{f}(x, y) = e_1 + e_2 \cdot x + e_3 \cdot y$. Коэффициенты $e_1, e_2, e_3$ определяются из условий интерполяции в узлах

Поскольку функции <<крышки>> $\phi_n$ равны единице в своём узле и нулю в остальных, линейный интерполянт функции источника, выраженный через них, принимает вид

где $f_i, f_{i+1}, f_{i+2}$ — значения функции источника в вершинах треугольника.

Подставим интерполированную функцию источника и пробную функцию в (6.43$$\int_{\triangle} f(x, y) \cdot \upsilon \,dS.$$). Примем во внимание (6.27$$\begin{cases} \phi_i(x, y) = a_i + b_i \cdot x + c_i \cdot y\\ \phi_{i+1}(x, y) = a_{i+1} + b_{i+1} \cdot x + c_{i+1} \cdot y\\ \phi_{i+2}(x, y) = a_{i+2} + b_{i+2} \cdot x + c_{i+2} \cdot y \end{cases}$$) из раздела о функциях <<крышек>>

где индексы $m$ и $n$ пробегают вершины треугольника $\{i, i+1, i+2\}$.

Воспользуемся соотношениями (6.28$$\begin{split} &\int_{\triangle} \phi_m \cdot \phi_n \,dS = \begin{cases} \frac{\displaystyle S_{\triangle}}{\displaystyle 6}, & m = n\\ \frac{\displaystyle S_{\triangle}}{\displaystyle 12}, & m \neq n \end{cases} \end{split}$$) для интегралов произведений функций <<крышек>>, выведенными при вычислении матрицы демпфирования, где $S_{\triangle}$ — площадь треугольника, которая вычисляется по формуле (6.10$$S_{\triangle} = \frac{\displaystyle |d|}{\displaystyle 2},$$). После приведения подобных получаем

Введём обозначения для элементов локального вектора нагрузки треугольника

Таким образом, локальный вектор нагрузки для двумерного треугольного элемента имеет вид

Заметим, что полученный вектор нагрузки совпадает с произведением локальной матрицы демпфирования (6.30$$\begin{aligned}\mathbf{C}_{\triangle} = \begin{bmatrix} c_{(i)(i)} & c_{(i)(i+1)} & c_{(i)(i+2)}\\ c_{(i+1)(i)} & c_{(i+1)(i+1)} & c_{(i+1)(i+2)}\\ c_{(i+2)(i)} & c_{(i+2)(i+1)} & c_{(i+2)(i+2)} \end{bmatrix} = \frac{\displaystyle S_{\triangle}}{\displaystyle 12} \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}.\end{aligned}$$) на вектор узловых значений источника, то есть $\mathbf{R}_{\triangle} = \mathbf{C}_{\triangle} \cdot \mathbf{f}$.

Глобальный вектор нагрузки $\mathbf{R}$ получается путём суммирования вкладов от всех треугольных элементов сетки методом сборки: элементы локальных векторов добавляются к соответствующим элементам глобального вектора согласно глобальной нумерации узлов. Размерность глобального вектора нагрузки равна $N$, где $N$ — общее количество узлов сетки. Важно отметить, что для внутренних узлов происходит суммирование вкладов от всех смежных треугольных элементов, содержащих данный узел. Для граничных узлов вектор нагрузки определяется граничными условиями задачи.