Одного уравнения недостаточно, оно описывает только лишь связи между частицами самого объекта, но он же не существует, как конь в вакууме, поэтому надо как-то соединить с окружающим миром исследуемый объект. Краевые условия для нашего примера — это совокупность граничных условий и начального условия $T_0(M)$. С начальным условием всё понятно: оно описывает температуру в объекте $M$ во всех внутренних точках и на границе $S$. Может быть случай, когда граница явно не указана, например мы рассчитываем электромагнитное поле над поверхностью земли, понятно, что рассматриваемая область будет вся Вселенная, но мы её искусственно ограничиваем какими-то разумными пределами и адаптируем размер конечных элементов пропорционально удалённости от источника поля. Это пример преимущества МКЭ перед МКР, где нам пришлось бы рассчитывать поле там, где нам не особо интересно. Так же отмечу, что мы не будем конкретизировать коэффициенты теплопроводности, функцию плотности — всё это будет в максимально общем виде, который сможет принять МКЭ; тип граничного условия, например, непосредственно повлияет на построение метода, и его нельзя упустить.

С начальным условием всё понятно, двинем к граничным условиям. Представим, что мы нагреваем стальной шарик в доменной печи, где температура 1000 К; можно принять, что шарик помещён в среду, на которую он не оказывает никакого влияния, и ограничивающая его сфера будет иметь температуру 1000 К на протяжении всего цикла нагрева. Такие условия описываются уравнением (1.13), которое называют граничным условием первого рода, или граничным условием Дирихле:

То есть температура на поверхности задаётся некоторой функцией, которая в общем случае может зависеть от времени; частным случаем является константа (в нашем примере — 1000 К).

Теперь достанем шарик из печи нагретым до 1000 К и обернём его теплоизоляционным материалом. Шарик будет остывать примерно с одной скоростью, то есть темп остывания будет более-менее постоянным. Это граничное условие второго рода (Неймана), оно задаёт нормальный тепловой поток через поверхность (1.14):

где $\vec{n}$ — внешняя нормаль к поверхности $S$ в точке $M$, $\lambda$ — коэффициент теплопроводности. Данное условие применяется для случая, когда с поверхности идёт нагревание или охлаждение: если $\Phi(M, t) \equiv 0$, то поверхность изолирована, если $\Phi(M, t) < 0$, то идёт процесс охлаждения, если $\Phi(M, t) > 0$, то процесс нагревания.

Есть ещё условие третьего рода (Робена). Пусть тот же шарик остывает на открытом воздухе в отсутствие ветра: тепло постепенно отводится с поверхности в окружающую среду, причём тем интенсивнее, чем сильнее шарик нагрет относительно воздуха. Такой теплообмен описывается уравнением (1.15):

где $\alpha$ — коэффициент теплоотдачи, $T_c$ — температура окружающей среды. Поток через поверхность пропорционален разности температур — это закон охлаждения Ньютона.

В нашем руководстве мы ограничимся рассмотрением только первых двух родов граничных условий.

Соответствующие однородные граничные условия имеют вид

Важность однородных граничных условий проявится в дальнейшем, когда мы будем получать общее решение методом разделения переменных Фурье.

Уравнение (1.8) с начальным условием $T_0(M)$ и граничным условием (1.13) называется краевой задачей Дирихле, а то же уравнение с тем же начальным условием, но граничным (1.14) называется краевой задачей Неймана. Мы рассмотрим обе задачи в нашем руководстве.