Одномерная краевая задача теплопроводности

Рассмотрим одномерную задачу теплопроводности на отрезке от $\alpha$ до $\beta$. Уравнение теплопроводности (1.8$\displaystyle \frac{\partial T(M, t)}{\partial t}$ $\displaystyle {} = a^2 \cdot \Delta T(M, t)$​$\displaystyle {} + f(M, t),$) в этом случае принимает вид

Краевые условия Дирихле (1.13$\displaystyle T(M, t)$ $\displaystyle {} = \Phi(M, t),$​$\displaystyle M$​$\displaystyle {} \in S.$) в одномерном случае имеют вид

Для избавления от неоднородности введем $T(x,t)$​${} = \widehat{T}(x,t)$​${} + U(x,t)$, выберем функцию $U(x,t)$​${} = a_1(t)$​${} + a_2(t) \cdot x$ и вычислим коэффициенты, в соответствии с (2.2$\displaystyle \widehat{T}(M, t)$​$\displaystyle {} + U(M, t)$​$\displaystyle {} = \Phi(M, t),$​$\displaystyle \widehat{T}(M, t)$​$\displaystyle {} = 0 \;$​$\displaystyle {} \Rightarrow\; U(M, t)$​$\displaystyle {} = \Phi(M, t),$​$\displaystyle M$​$\displaystyle {} \in S.$)

Тогда уравнение (2.23$\displaystyle \frac{\partial T(x, t)}{\partial t}$ $\displaystyle {} = a^2 \cdot \frac{\partial^2 T(x, t)}{\partial x^2}$​$\displaystyle {} + f(x, t).$) и краевые условия (2.24$\displaystyle T(x, 0)$ $\displaystyle {} = T_0(x),$$\displaystyle T(\alpha, t)$ $\displaystyle {} = \Phi_\alpha(t),$$\displaystyle T(\beta, t)$ $\displaystyle {} = \Phi_\beta(t)$) примут вид

где $\widehat{f}(x, t)$​${} = f(x, t)$​${} - \frac{\displaystyle da_1(t)}{\displaystyle dt}$​${} - \frac{\displaystyle da_2(t)}{\displaystyle dt} \cdot x$.

Краевые условия Неймана (1.14$\displaystyle \lambda \cdot \frac{\partial T(M, t)}{\partial \overrightarrow{n}}$ $\displaystyle {} = \Phi(M, t),$​$\displaystyle M$​$\displaystyle {} \in S,$) в одномерном случае имеют вид

Для избавления от неоднородности введем $T(x,t)$​${} = \widehat{T}(x,t)$​${} + U(x,t)$, выберем функцию $U(x,t)$​${} = a_1(t) \cdot x$​${} + a_2(t) \cdot x^2$ и вычислим коэффициенты, в соответствии с (2.3$\displaystyle \frac{\partial \widehat{T}(M, t)}{\partial \overrightarrow{n}}$​$\displaystyle {} + \frac{\partial U(M, t)}{\partial \overrightarrow{n}}$​$\displaystyle {} = \Phi(M, t),$​$\displaystyle \frac{\partial \widehat{T}(M, t)}{\partial \overrightarrow{n}}$​$\displaystyle {} = 0 \;$​$\displaystyle {} \Rightarrow\; \frac{\partial U(M, t)}{\partial \overrightarrow{n}}$​$\displaystyle {} = \Phi(M, t),$​$\displaystyle M$​$\displaystyle {} \in S.$)

Тогда уравнение (2.23$\displaystyle \frac{\partial T(x, t)}{\partial t}$ $\displaystyle {} = a^2 \cdot \frac{\partial^2 T(x, t)}{\partial x^2}$​$\displaystyle {} + f(x, t).$) и краевые условия (2.28$\displaystyle T(x, 0)$ $\displaystyle {} = T_0(x),$$\displaystyle \frac{\displaystyle \partial T(x, t)}{\displaystyle \partial x} \bigg|_{x=\alpha}$ $\displaystyle {} = \Phi_\alpha(t),$$\displaystyle \frac{\displaystyle \partial T(x, t)}{\displaystyle \partial x} \bigg|_{x=\beta}$ $\displaystyle {} = \Phi_\beta(t)$) примут вид

где $\widehat{f}(x, t)$​${} = f(x, t)$​${} - \frac{\displaystyle da_1(t)}{\displaystyle dt} \cdot x$​${} - \frac{\displaystyle da_2(t)}{\displaystyle dt} \cdot x^2$​${} + 2 \cdot a^2 \cdot a_2(t)$.

Уравнение (2.8$\displaystyle \Delta \Psi(M)$​$\displaystyle {} + \gamma^2 \cdot \Psi(M)$​$\displaystyle {} = 0.$) примет вид

Общее решение этого уравнения имеет вид

где $c_1$ и $c_2$ — коэффициенты, определяемые из граничных условий, а вес, обеспечивающий ортогональность собственных функций, $\rho(x)$​${} = 1$.

Подставим общее решение в граничные условия (2.27$\displaystyle \frac{\displaystyle \partial \widehat{T}(x, t)}{\displaystyle \partial t}$ $\displaystyle {} = a^2 \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 \widehat{T}(x, t)}{\displaystyle \partial x^2}$​$\displaystyle {} + \widehat{f}(x, t),$$\displaystyle \widehat{T}(x, 0)$ $\displaystyle {} = T_0(x)$​$\displaystyle {} - a_1(0)$​$\displaystyle {} - a_2(0) \cdot x,$$\displaystyle \widehat{T}(\alpha, t)$ $\displaystyle {} = 0, \widehat{T}(\beta, t)$​$\displaystyle {} = 0,$) и получим

Понятно, что из первого уравнения $c_1$​${} = 0$ и решение имеет смысл только тогда, когда $c_2$​${} \neq 0$, что возможно только тогда, когда $\sin[\gamma \cdot (\beta - \alpha)]$​${} = 0$

Нулевое и отрицательные значения $n$ не годятся: при $n$​${} = 0$ имеем $\gamma$​${} = 0$, и $\Psi(x)$​${} = c_2 \cdot \sin[0 \cdot (x - \alpha)]$​${} \equiv 0$ — тождественный нуль, не являющийся собственной функцией; отрицательным же $n$ отвечает то же собственное значение $\gamma^2$ (ведь $\gamma_{-n}$​${} = -\gamma_n$), а $\sin[-\gamma_n \cdot (x - \alpha)]$​${} = -\sin[\gamma_n \cdot (x - \alpha)]$ линейно зависимо с решением для положительного $n$ и нового вклада не даёт. Поэтому $n$​${} \in (1..\infty)$.

Таким образом, собственные значения и собственные функции имеют вид

где $c_{2n}$ — произвольный постоянный множитель: собственная функция определена с точностью до него. Положим $c_{2n}$​${} = 1$ — этот множитель всё равно вбирается в коэффициенты разложения $T_{0n}$ и $f_n$, как и в общем решении.

Для разложения функций в ряд Фурье по $\Psi_n(x)$ необходимо вычислить норму $\|\Psi_n(x)\|^2$, вес для декартовых координат $\rho(x)$​${} = 1$.

Теперь подставим решение в граничные условия (2.31$\displaystyle \frac{\displaystyle \partial \widehat{T}(x, t)}{\displaystyle \partial t}$ $\displaystyle {} = a^2 \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 \widehat{T}(x, t)}{\displaystyle \partial x^2}$​$\displaystyle {} + \widehat{f}(x, t),$$\displaystyle \widehat{T}(x, 0)$ $\displaystyle {} = T_0(x)$​$\displaystyle {} - a_1(0) \cdot x$​$\displaystyle {} - a_2(0) \cdot x^2,$$\displaystyle \frac{\displaystyle \partial \widehat{T}(x, t)}{\displaystyle \partial x} \bigg|_{x=\alpha}$ $\displaystyle {} = 0, \frac{\displaystyle \partial \widehat{T}(x, t)}{\displaystyle \partial x} \bigg|_{x=\beta}$​$\displaystyle {} = 0,$) и получим

Понятно, что из первого уравнения $c_2$​${} = 0$ и решение имеет смысл только тогда, когда $\sin[\gamma_n \cdot (\beta - \alpha)]$​${} = 0$

Здесь, в отличие от задачи Дирихле, мода $n$​${} = 0$ сохраняется: при $\gamma_0$​${} = 0$ собственная функция $\Psi_0(x)$​${} = c_{10} \cdot \cos[0 \cdot (x - \alpha)]$​${} = c_{10}$ — ненулевая постоянная, то есть полноценная собственная функция (постоянная мода). Поэтому индексация начинается с нуля.

Таким образом, собственные значения и собственные функции имеют вид

где $c_{1n}$ — произвольный постоянный множитель: собственная функция определена с точностью до него. Положим $c_{1n}$​${} = 1$ — этот множитель всё равно вбирается в коэффициенты разложения $T_{0n}$ и $f_n$, как и в общем решении.

Норму собственных функций вычислим так же, как для случая с синусом, понизив степень косинуса по формуле половинного угла. Для $n$​${} \ge 1$

поскольку интеграл от косинуса по целому числу полупериодов равен нулю: $\sin \left[ 2 \cdot \gamma_n \cdot (\beta - \alpha) \right]$​${} = \sin(2 \cdot \pi \cdot n)$​${} = 0$. Особый случай $n$​${} = 0$ (при $\gamma_0$​${} = 0$ собственная функция $\Psi_0(x)$​${} = 1$) вычислим отдельно

Финальное решение одномерной краевой задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями примет вид

В задаче Неймана, в отличие от Дирихле, спектр содержит нулевую моду ($\gamma_0$​${} = 0$, $\Psi_0(x)$​${} = 1$) — случай $\gamma_n$​${} = 0$, который в общем решении (2.18$\displaystyle T(M)$ $\displaystyle {} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\displaystyle \Psi_n(M)}{\displaystyle \|\Psi_n(M)\|^2}$​$\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a^2 \cdot \gamma_n^2}$​$\displaystyle {} \cdot \iiint_G \rho(M)$​$\displaystyle {} \cdot f(M)$​$\displaystyle {} \cdot \Psi_n(M) \,dG,$​$\displaystyle \gamma_n$​$\displaystyle {} \neq 0.$) был оставлен для отдельного рассмотрения; именно она даёт первое (незатухающее) слагаемое. Финальное решение одномерной краевой задачи Неймана с неоднородными граничными условиями примет вид

Чтобы получить стационарные решения, устремим в найденных решениях время к бесконечности ($t$​${} \to \infty$), как это сделано для общего случая в (2.18$\displaystyle T(M)$ $\displaystyle {} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\displaystyle \Psi_n(M)}{\displaystyle \|\Psi_n(M)\|^2}$​$\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a^2 \cdot \gamma_n^2}$​$\displaystyle {} \cdot \iiint_G \rho(M)$​$\displaystyle {} \cdot f(M)$​$\displaystyle {} \cdot \Psi_n(M) \,dG,$​$\displaystyle \gamma_n$​$\displaystyle {} \neq 0.$). Слагаемое с начальным условием занулится, поскольку $e^{- a^2 \cdot \gamma_n^2 \cdot t}$​${} \to 0$; источники и граничные условия перестают зависеть от времени, а интеграл по времени для $\gamma_n$​${} \neq 0$ даёт множитель $\frac{1}{a^2 \cdot \gamma_n^2}$:

Стационарное решение одномерной краевой задачи Дирихле примет вид

Стационарное решение одномерной краевой задачи Неймана не такое простое. В отличие от задачи Дирихле, чисто неймановская стационарная задача разрешима не всегда. Приведённая функция $\widehat{T}$ удовлетворяет однородным условиям Неймана $\widehat{T}'(\alpha)$​${} = \widehat{T}'(\beta)$​${} = 0$ и стационарному уравнению $a^2 \cdot \widehat{T}''(x)$​${} + \widehat{f}(x)$​${} = 0$. Проинтегрируем его по отрезку $[\alpha, \beta]$:

Граничный член обратился в нуль в силу однородных условий Неймана, и осталось условие разрешимости (2.22$\displaystyle \iiint_G f(M) \,dM$ $\displaystyle {} = - a^2 \cdot \iint_S \Phi(M) \,dS,$): $\int_\alpha^\beta \widehat{f}(\omega) \,d\omega$​${} = 0$ — суммарный приведённый источник должен обращаться в нуль (иначе тепло накапливается, среднее неограниченно растёт и стационара нет). При выполнении этого условия решение определяется лишь с точностью до произвольной аддитивной постоянной $C$: ей отвечает нулевая мода ($\gamma_0$​${} = 0$, $\Psi_0(x)$​${} = 1$), амплитуда которой стационарным уравнением не фиксируется. С этой оговоркой решение примет вид