Рассмотрим одномерную задачу теплопроводности на отрезке от $\alpha$ до $\beta$. Уравнение теплопроводности (1.8$$\frac{\partial T(M, t)}{\partial t} = a^2 \cdot \Delta T(M, t) + f(M, t),$$) в этом случае принимает вид

Краевые условия Дирихле (1.13$$T(M, t) = \Phi(M, t), \quad M \in S.$$) в одномерном случае имеют вид

Для избавления от неоднородности введем $T(x,t) = \widehat{T}(x,t) + U(x,t)$, выберем функцию $U(x,t) = a_1(t) + a_2(t) \cdot x$, и вычислим коэффициенты, в соответствии с (2.2$$\widehat{T}(M, t) + U(M, t) = \Phi(M, t), \quad \widehat{T}(M, t) = 0 \;\Rightarrow\; U(M, t) = \Phi(M, t), \quad M \in S.$$)

Тогда уравнение (2.23$$\frac{\partial T(x, t)}{\partial t} = a^2 \cdot \frac{\partial^2 T(x, t)}{\partial x^2} + f(x, t),$$) и краевые условия (2.24$$\begin{cases} T(x, 0) = T_0(x),\\ T(\alpha, t) = \Phi_\alpha(t),\\ T(\beta, t) = \Phi_\beta(t) \end{cases}$$) примут вид

где $\widehat{f}(x, t) = f(x, t) - \frac{\displaystyle da_1(t)}{\displaystyle dt} - \frac{\displaystyle da_2(t)}{\displaystyle dt} \cdot x$.

Краевые условия Неймана (1.14$$\lambda \cdot \frac{\partial T(M, t)}{\partial \vec{n}} = \Phi(M, t), \quad M \in S,$$) в одномерном случае имеют вид

Для избавления от неоднородности введем $T(x,t) = \widehat{T}(x,t) + U(x,t)$, выберем функцию $U(x,t) = a_1(t) \cdot x + a_2(t) \cdot x^2$, и вычислим коэффициенты, в соответствии с (2.3$$\frac{\partial \widehat{T}(M, t)}{\partial \vec{n}} + \frac{\partial U(M, t)}{\partial \vec{n}} = \Phi(M, t), \quad \frac{\partial \widehat{T}(M, t)}{\partial \vec{n}} = 0 \;\Rightarrow\; \frac{\partial U(M, t)}{\partial \vec{n}} = \Phi(M, t), \quad M \in S.$$)

Тогда уравнение (2.23$$\frac{\partial T(x, t)}{\partial t} = a^2 \cdot \frac{\partial^2 T(x, t)}{\partial x^2} + f(x, t),$$) и краевые условия (2.28$$\begin{cases} T(x, 0) = T_0(x),\\ \frac{\displaystyle \partial T(x, t)}{\displaystyle \partial x} \bigg|_{x=\alpha} = \Phi_\alpha(t),\\ \frac{\displaystyle \partial T(x, t)}{\displaystyle \partial x} \bigg|_{x=\beta} = \Phi_\beta(t) \end{cases}$$) примут вид

где $\widehat{f}(x, t) = f(x, t) - \frac{\displaystyle da_1(t)}{\displaystyle dt} \cdot x - \frac{\displaystyle da_2(t)}{\displaystyle dt} \cdot x^2 + 2 \cdot a^2 \cdot a_2(t)$.

Уравнение (2.8$$\Delta \Psi(M) + \gamma^2 \cdot \Psi(M) = 0.$$) примет вид

Общее решение этого уравнения имеет вид

где $c_1$ и $c_2$ — коэффициенты, определяемые из граничных условий, а вес, обеспечивающий ортогональность собственных функций, $\rho(x) = 1$.

Подставим общее решение в граничные условия (2.27$$\begin{cases} \frac{\displaystyle \partial \widehat{T}(x, t)}{\displaystyle \partial t} = a^2 \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 \widehat{T}(x, t)}{\displaystyle \partial x^2} + \widehat{f}(x, t),\\ \widehat{T}(x, 0) = T_0(x) - a_1(0) - a_2(0) \cdot x,\\ \widehat{T}(\alpha, t) = 0, \widehat{T}(\beta, t) = 0, \end{cases}$$) и получим

Понятно, что из первого уравнения $c_1 = 0$ и решение имеет смысл только тогда, когда $c_2 \neq 0$, что возможно только тогда, когда $\sin[\gamma \cdot (\beta - \alpha)] = 0$

Нулевое и отрицательные значения $n$ не годятся: при $n = 0$ имеем $\gamma = 0$, и $\Psi(x) = c_2 \cdot \sin[0 \cdot (x - \alpha)] \equiv 0$ — тождественный нуль, не являющийся собственной функцией; отрицательным же $n$ отвечает то же собственное значение $\gamma^2$ (ведь $\gamma_{-n} = -\gamma_n$), а $\sin[-\gamma_n \cdot (x - \alpha)] = -\sin[\gamma_n \cdot (x - \alpha)]$ линейно зависимо с решением для положительного $n$ и нового вклада не даёт. Поэтому $n \in (1..\infty)$.

Таким образом, собственные значения и собственные функции имеют вид

где $c_{2n}$ — произвольный постоянный множитель: собственная функция определена с точностью до него. Положим $c_{2n} = 1$ — этот множитель всё равно вбирается в коэффициенты разложения $T_{0n}$ и $f_n$, как и в общем решении.

Для разложения функций в ряд Фурье по $\Psi_n(x)$ необходимо вычислить норму $\|\Psi_n(x)\|^2$, вес для декартовых координат $\rho(x) = 1$.

Теперь подставим решение в граничные условия (2.31$$\begin{cases} \frac{\displaystyle \partial \widehat{T}(x, t)}{\displaystyle \partial t} = a^2 \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 \widehat{T}(x, t)}{\displaystyle \partial x^2} + \widehat{f}(x, t),\\ \widehat{T}(x, 0) = T_0(x) - a_1(0) \cdot x - a_2(0) \cdot x^2,\\ \frac{\displaystyle \partial \widehat{T}(x, t)}{\displaystyle \partial x} \bigg|_{x=\alpha} = 0, \frac{\displaystyle \partial \widehat{T}(x, t)}{\displaystyle \partial x} \bigg|_{x=\beta} = 0, \end{cases}$$) и получим

Понятно, что из первого уравнения $c_2 = 0$ и решение имеет смысл только тогда, когда $\sin[\gamma_n \cdot (\beta - \alpha)] = 0$

Здесь, в отличие от задачи Дирихле, мода $n = 0$ сохраняется: при $\gamma_0 = 0$ собственная функция $\Psi_0(x) = c_{10} \cdot \cos[0 \cdot (x - \alpha)] = c_{10}$ — ненулевая постоянная, то есть полноценная собственная функция (постоянная мода). Поэтому индексация начинается с нуля.

Таким образом, собственные значения и собственные функции имеют вид

где $c_{1n}$ — произвольный постоянный множитель: собственная функция определена с точностью до него. Положим $c_{1n} = 1$ — этот множитель всё равно вбирается в коэффициенты разложения $T_{0n}$ и $f_n$, как и в общем решении.

Норму собственных функций вычислим так же, как для случая с синусом, понизив степень косинуса по формуле половинного угла. Для $n \ge 1$

поскольку интеграл от косинуса по целому числу полупериодов равен нулю: $\sin \left[ 2 \cdot \gamma_n \cdot (\beta - \alpha) \right] = \sin(2 \cdot \pi \cdot n) = 0$. Особый случай $n = 0$ (при $\gamma_0 = 0$ собственная функция $\Psi_0(x) = 1$) вычислим отдельно

Финальное решение одномерной краевой задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями примет вид

В задаче Неймана, в отличие от Дирихле, спектр содержит нулевую моду ($\gamma_0 = 0$, $\Psi_0(x) = 1$) — случай $\gamma_n = 0$, который в общем решении (2.18$$T(M) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\displaystyle \Psi_n(M)}{\displaystyle \|\Psi_n(M)\|^2} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a^2 \cdot \gamma_n^2} \cdot \iiint_G \rho(M) \cdot f(M) \cdot \Psi_n(M) \,dG, \quad \gamma_n \neq 0.$$) был оставлен для отдельного рассмотрения; именно она даёт первое (незатухающее) слагаемое. Финальное решение одномерной краевой задачи Неймана с неоднородными граничными условиями примет вид

Чтобы получить стационарные решения, устремим в найденных решениях время к бесконечности ($t \to \infty$), как это сделано для общего случая в (2.18$$T(M) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\displaystyle \Psi_n(M)}{\displaystyle \|\Psi_n(M)\|^2} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a^2 \cdot \gamma_n^2} \cdot \iiint_G \rho(M) \cdot f(M) \cdot \Psi_n(M) \,dG, \quad \gamma_n \neq 0.$$). Слагаемое с начальным условием занулится, поскольку $e^{- a^2 \cdot \gamma_n^2 \cdot t} \to 0$; источники и граничные условия перестают зависеть от времени, а интеграл по времени для $\gamma_n \neq 0$ даёт множитель $\frac{1}{a^2 \cdot \gamma_n^2}$:

Стационарное решение одномерной краевой задачи Дирихле примет вид

Стационарное решение одномерной краевой задачи Неймана не такое простое. В отличие от задачи Дирихле, чисто неймановская стационарная задача разрешима не всегда. Приведённая функция $\widehat{T}$ удовлетворяет однородным условиям Неймана $\widehat{T}'(\alpha) = \widehat{T}'(\beta) = 0$ и стационарному уравнению $a^2 \cdot \widehat{T}''(x) + \widehat{f}(x) = 0$. Проинтегрируем его по отрезку $[\alpha, \beta]$:

Граничный член обратился в нуль в силу однородных условий Неймана, и осталось условие разрешимости (2.22$$\iiint_G f(M) \,dM = - a^2 \cdot \iint_S \Phi(M) \,dS,$$): $\int_\alpha^\beta \widehat{f}(\omega) \,d\omega = 0$ — суммарный приведённый источник должен обращаться в нуль (иначе тепло накапливается, среднее неограниченно растёт и стационара нет). При выполнении этого условия решение определяется лишь с точностью до произвольной аддитивной постоянной $C$: ей отвечает нулевая мода ($\gamma_0 = 0$, $\Psi_0(x) = 1$), амплитуда которой стационарным уравнением не фиксируется. С этой оговоркой решение примет вид