E. Уравнение Лежандра

При решении уравнения для геометрии в сферических координатах возникает следующее уравнение для полярного угла

где $\Theta(z)$ — искомая функция, $m$ — целое неотрицательное число, $\gamma_1^2$ — константа разделения переменных. Раскроем производную в первом члене

Заметим, что при $m$​${} = 0$ уравнение принимает вид уравнения Лежандра

Это уравнение имеет ограниченные на интервале ${} -1$​${} < z$​${} < 1$ решения только при собственных значениях $\gamma_{1k}^2$​${} = k \cdot (k + 1)$, $k$​${} \in (0..\infty)$; эти решения задаются формулой Родрига

где $P_k(z)$ — полиномы Лежандра. Будем искать решения уравнения (E.1$\displaystyle \frac{\displaystyle d}{\displaystyle dz} \left( (1 - z^2) \cdot \frac{\displaystyle d \Theta(z)}{\displaystyle dz} \right)$​$\displaystyle {} + \left[ \gamma_1^2 - \frac{\displaystyle m^2}{\displaystyle 1 - z^2} \right] \cdot \Theta(z)$​$\displaystyle {} = 0,$​$\displaystyle {} -1$​$\displaystyle {} < z$​$\displaystyle {} < 1,$) при тех же собственных значениях $\gamma_{1k}^2$​${} = k \cdot (k + 1)$ — тогда оно запишется в виде

Сделаем подстановку $\Theta_{km}(z)$​${} = \left( 1 - z^2 \right)^{\frac{\displaystyle m}{\displaystyle 2}} \cdot \widehat{\Theta}_{km}(z)$ в уравнение (E.3$\displaystyle (1 - z^2) \cdot \frac{\displaystyle d^2 \Theta_{km}(z)}{\displaystyle dz^2}$​$\displaystyle {} - 2 \cdot z \cdot \frac{\displaystyle d \Theta_{km}(z)}{\displaystyle dz}$​$\displaystyle {} + \left[ k \cdot (k + 1) - \frac{\displaystyle m^2}{\displaystyle 1 - z^2} \right]$​$\displaystyle {} \cdot \Theta_{km}(z)$​$\displaystyle {} = 0,$​$\displaystyle k$​$\displaystyle {} \in (0..\infty).$). Первая производная примет вид

Для вычисления второй производной предварительно вычислим

Тогда вторая производная запишется в виде

После приведения подобных слагаемых она примет вид

Подставим всё в уравнение (E.3$\displaystyle (1 - z^2) \cdot \frac{\displaystyle d^2 \Theta_{km}(z)}{\displaystyle dz^2}$​$\displaystyle {} - 2 \cdot z \cdot \frac{\displaystyle d \Theta_{km}(z)}{\displaystyle dz}$​$\displaystyle {} + \left[ k \cdot (k + 1) - \frac{\displaystyle m^2}{\displaystyle 1 - z^2} \right]$​$\displaystyle {} \cdot \Theta_{km}(z)$​$\displaystyle {} = 0,$​$\displaystyle k$​$\displaystyle {} \in (0..\infty).$), попутно сокращая $(1 - z^2)^{\frac{\displaystyle m}{\displaystyle 2}}$:

Сгруппируем коэффициенты при производных:

таким образом, после подстановки уравнение (E.3$\displaystyle (1 - z^2) \cdot \frac{\displaystyle d^2 \Theta_{km}(z)}{\displaystyle dz^2}$​$\displaystyle {} - 2 \cdot z \cdot \frac{\displaystyle d \Theta_{km}(z)}{\displaystyle dz}$​$\displaystyle {} + \left[ k \cdot (k + 1) - \frac{\displaystyle m^2}{\displaystyle 1 - z^2} \right]$​$\displaystyle {} \cdot \Theta_{km}(z)$​$\displaystyle {} = 0,$​$\displaystyle k$​$\displaystyle {} \in (0..\infty).$) принимает вид

Возьмём уравнение (E.3$\displaystyle (1 - z^2) \cdot \frac{\displaystyle d^2 \Theta_{km}(z)}{\displaystyle dz^2}$​$\displaystyle {} - 2 \cdot z \cdot \frac{\displaystyle d \Theta_{km}(z)}{\displaystyle dz}$​$\displaystyle {} + \left[ k \cdot (k + 1) - \frac{\displaystyle m^2}{\displaystyle 1 - z^2} \right]$​$\displaystyle {} \cdot \Theta_{km}(z)$​$\displaystyle {} = 0,$​$\displaystyle k$​$\displaystyle {} \in (0..\infty).$), положим $m$​${} = 0$ и учтём, что его решением в этом случае являются полиномы Лежандра $P_k(z)$ — получим следующее уравнение

которое продифференцируем $m$ раз с помощью формулы Лейбница, определяемой следующим образом

где $\binom{m}{i}$​${} = \frac{\displaystyle m!}{\displaystyle i! \cdot (m - i)!}$ — биномиальный коэффициент.

Начнём с первого члена уравнения (E.5$\displaystyle (1 - z^2) \cdot \frac{\displaystyle d^2 P_k(z)}{\displaystyle dz^2}$​$\displaystyle {} - 2 \cdot z \cdot \frac{\displaystyle d P_k(z)}{\displaystyle dz}$​$\displaystyle {} + k \cdot (k + 1) \cdot P_k(z)$​$\displaystyle {} = 0,$), приняв $v(z)$​${} = 1$​${} - z^2$

теперь примем $v(z)$​${} = -2 \cdot z$, получим

для случая $v(z)$​${} = k \cdot (k + 1)$ всё тривиально

Биномиальные коэффициенты соответственно равны

Результат дифференцирования первого члена уравнения (E.5$\displaystyle (1 - z^2) \cdot \frac{\displaystyle d^2 P_k(z)}{\displaystyle dz^2}$​$\displaystyle {} - 2 \cdot z \cdot \frac{\displaystyle d P_k(z)}{\displaystyle dz}$​$\displaystyle {} + k \cdot (k + 1) \cdot P_k(z)$​$\displaystyle {} = 0,$) равен

для второго члена

для третьего члена

сложим все три члена

Левая часть уравнения (E.5$\displaystyle (1 - z^2) \cdot \frac{\displaystyle d^2 P_k(z)}{\displaystyle dz^2}$​$\displaystyle {} - 2 \cdot z \cdot \frac{\displaystyle d P_k(z)}{\displaystyle dz}$​$\displaystyle {} + k \cdot (k + 1) \cdot P_k(z)$​$\displaystyle {} = 0,$) тождественно равна нулю, поэтому равна нулю и её $m$-кратная производная:

Полученное уравнение совпадает с уравнением (E.4$\displaystyle (1 - z^2) \cdot \frac{\displaystyle d^2 \widehat{\Theta}_{km}(z)}{\displaystyle dz^2}$​$\displaystyle {} - 2 \cdot (m + 1) \cdot z \cdot \frac{\displaystyle d \widehat{\Theta}_{km}(z)}{\displaystyle dz}$​$\displaystyle {} + (k - m) \cdot (k + m + 1) \cdot \widehat{\Theta}_{km}(z)$​$\displaystyle {} = 0.$), откуда $\widehat{\Theta}_{km}(z)$​${} = \frac{\displaystyle d^m}{\displaystyle dz^m} P_k(z)$, а значит, решение уравнения (E.1$\displaystyle \frac{\displaystyle d}{\displaystyle dz} \left( (1 - z^2) \cdot \frac{\displaystyle d \Theta(z)}{\displaystyle dz} \right)$​$\displaystyle {} + \left[ \gamma_1^2 - \frac{\displaystyle m^2}{\displaystyle 1 - z^2} \right] \cdot \Theta(z)$​$\displaystyle {} = 0,$​$\displaystyle {} -1$​$\displaystyle {} < z$​$\displaystyle {} < 1,$) имеет вид

где $\gamma_{1k}^2$​${} = k \cdot (k + 1)$ — собственные значения, $P_k^{(m)}(z)$ — присоединённые полиномы Лежандра. При $m$​${} > k$ производная $\frac{\displaystyle d^m}{\displaystyle dz^m} P_k(z)$ обращается в нуль, поэтому нетривиальные решения существуют только при $k$​${} \ge m$.