Эта глава — ключевая: здесь закладывается база метода конечных элементов. Освоив её, вы сможете применять тот же подход к уравнениям других типов, содержащих линейный оператор.

Мы рассмотрели аналитический подход к решению уравнения теплопроводности, однако для более сложных геометрий он быстро становится громоздким или вообще неприменимым, поэтому теперь приступим к нашей главной теме — численному решению уравнения теплопроводности. Ещё раз запишем уравнение (1.8$$\frac{\partial T(M, t)}{\partial t} = a^2 \cdot \Delta T(M, t) + f(M, t),$$) для удобства, заменив $T$ на $u$

Нам надо подобрать функцию $u(M, t)$, удовлетворяющую уравнению и граничным условиям; граничные условия предварительно гомогенизируем, как это делалось в аналитической части: неоднородность уйдёт в функцию плотности тепловых источников и в начальное условие, а в конце добавится к решению. Сама задача может быть представлена в виде уравнения Эйлера

где $L = \frac{\displaystyle \partial}{\displaystyle \partial t} - a^2 \cdot \Delta$ — линейный оператор дифференциального уравнения, $u$ — искомая функция, $f$ — функция нагрузки. Как я сказал выше, наше уравнение тоже подпадает под эту форму, а значит, мы можем применить известный подход к решению уравнения Эйлера. Таким подходом является метод Бубнова-Галёркина: в слабой форме требуется, чтобы для любой пробной функции $\upsilon(M, t)$ в любой момент времени $t$ выполнялось равенство

Зачем всё это нужно и что за пробные функции? Выше, при построении аналитического решения, мы видели, как решение раскладывается в ряд Фурье — здесь происходит то же самое: если выбрать функции ортогональными, задача распадается на несколько независимых друг от друга решений, которые финально сложатся в искомое. Свобода выбора очень большая, поэтому функции можно взять максимально простыми и удобными для вычислений. Достаточно взглянуть на уравнение выше, и станет понятно, что решение может быть представлено суммой $u(M, t) = \sum_{i=1}^n a_i \cdot \upsilon_i(M, t)$, где $a_i$ — коэффициенты, которые нужно найти, а $\upsilon_i(M, t)$ — базисные функции; в методе Бубнова-Галёркина пробные функции берутся из того же семейства. Подход к численному решению аналогичен аналитическому и тоже по сути сводится к поиску коэффициентов при известных базисных функциях. Я бы сказал больше: никакого принципиального разделения на аналитические и численные методы нет — по сути это одно и то же.

Интегралы писать неудобно, поэтому запишем (5.2$$\int_M L[u(M, t)] \cdot \upsilon(M, t) \,dM = \int_M f(M, t) \cdot \upsilon(M, t) \,dM.$$) в виде скалярного произведения

Известно, что уравнение Эйлера связано с функционалом следующим образом

Минимизация этого функционала возвращает нас к уравнению Эйлера, а функция $\upsilon$, на которой достигается минимум, и есть искомое решение $u$. Покажем это.

Если на функции $u$ достигается минимум функционала, дадим ей приращение $u + \epsilon \cdot \upsilon$, где $\epsilon$ — малое число, а $\upsilon$ — произвольная функция, и проведём преобразования, приняв во внимание очевидное соотношение $I(u) \leq I(u + \epsilon \cdot \upsilon)$

При раскрытии скобок мы воспользовались самосопряжённостью оператора: $(L[\upsilon], u) = (L[u], \upsilon)$. Для производной по времени это, строго говоря, не так — аккуратный разбор этого момента дан в приложении «Функционал метода Бубнова-Галёркина». Так как $\epsilon$ может быть отрицательным, для выполнения условия минимума необходимо, чтобы линейный по $\epsilon$ член обращался в нуль, то есть чтобы выполнялось (5.3$$(L[u], \upsilon) = (f, \upsilon).$$). Таким образом, для того чтобы решить уравнение Эйлера методом Бубнова-Галёркина, нужно минимизировать функционал (5.4$$I(\upsilon) = (L[\upsilon], \upsilon) - 2 \cdot (f, \upsilon).$$).

Решение уравнений аналитически показало нам подход разделения переменных, поэтому попробуем применить эти знания здесь. Логически понятно, что нестационарность не добавляет сложности, связанной с геометрией: геометрия отдельно, время отдельно. В идеале решение нестационарного уравнения должно сводиться к последовательному решению $N$ стационарных задач. В приложении «Функционал метода Бубнова-Галёркина» мы получили функционалы, минимизация которых даёт решение нестационарной (I.6$$\begin{split} &\int_M \upsilon_n^2 \,dM + \Delta t \cdot a^2 \cdot \int_M \nabla \upsilon_n \cdot \nabla \upsilon_n \,dM\\ &- 2 \cdot \int_M \left[ \Delta t \cdot f + \upsilon_{n-1} \right] \cdot \upsilon_n \,dM - \Delta t \cdot a^2 \cdot \int_S \upsilon_n \cdot \nabla \upsilon_n \,dS \rightarrow \min. \end{split}$$) и стационарной (I.5$$a^2 \cdot \int_M \nabla \upsilon \cdot \nabla \upsilon \,dM - 2 \cdot \int_M f \cdot \upsilon \,dM - a^2 \cdot \int_S \upsilon \cdot \nabla \upsilon \,dS \rightarrow \min.$$) задач.