Рассмотрим, как функционал метода Бубнова–Галёркина из приложения I применяется на практике: разберём одномерный пример от начала до конца — от пробных функций до системы линейных уравнений в матричной форме.
Решаем уравнение теплопроводности L [ u ] L[u] = f {} = f L L = ∂ u ∂ t {} = \frac{\partial u}{\partial t} − a 2 Δ u {} - a^2 \Delta u [ x 0 , x 4 ] [x_0, x_4] 1.14 λ ⋅ ∂ T ( M , t ) ∂ n → \displaystyle \lambda \cdot \frac{\partial T(M, t)}{\partial \overrightarrow{n}} = Φ ( M , t ) , \displaystyle {} = \Phi(M, t), M \displaystyle M ∈ S , \displaystyle {} \in S, ∂ u ∂ n ∣ x = x 0 \frac{\partial u}{\partial n}\bigg|_{x=x_0} = g 0 {} = g_0 ∂ u ∂ n ∣ x = x 4 \frac{\partial u}{\partial n}\bigg|_{x=x_4} = g 4 {} = g_4
Рис. J.1. Одномерная сетка примера: четыре симплекса-отрезка s 1 , … , s 4 s_1, \ldots, s_4 x 0 , … , x 4 x_0, \ldots, x_4 l ( i ) ( i + 1 ) l_{(i)(i+1)} Возьмём четыре симплекса-отрезка s 1 , s 2 , s 3 , s 4 s_1, s_2, s_3, s_4 x 1 , x 2 , x 3 x_1, x_2, x_3 x 0 , x 4 x_0, x_4 рисунок J.1 ). Пробные функции для симплексов-отрезков примут вид
υ ( 0 ) ( 1 ) ( x ) \displaystyle \upsilon_{(0)(1)}(x) = q 0 ⋅ ϕ 0 ( x ) \displaystyle {} = q_0 \cdot \phi_0(x) + q 1 ⋅ ϕ 1 ( x ) \displaystyle {} + q_1 \cdot \phi_1(x) υ ( 1 ) ( 2 ) ( x ) \displaystyle \upsilon_{(1)(2)}(x) = q 1 ⋅ ϕ 1 ( x ) \displaystyle {} = q_1 \cdot \phi_1(x) + q 2 ⋅ ϕ 2 ( x ) \displaystyle {} + q_2 \cdot \phi_2(x) υ ( 2 ) ( 3 ) ( x ) \displaystyle \upsilon_{(2)(3)}(x) = q 2 ⋅ ϕ 2 ( x ) \displaystyle {} = q_2 \cdot \phi_2(x) + q 3 ⋅ ϕ 3 ( x ) \displaystyle {} + q_3 \cdot \phi_3(x) υ ( 3 ) ( 4 ) ( x ) \displaystyle \upsilon_{(3)(4)}(x) = q 3 ⋅ ϕ 3 ( x ) \displaystyle {} = q_3 \cdot \phi_3(x) + q 4 ⋅ ϕ 4 ( x ) \displaystyle {} + q_4 \cdot \phi_4(x) Функции «крышки» и их производные для симплексов-отрезков имеют вид
ϕ 0 ( x ) \displaystyle \phi_0(x) = a 0 \displaystyle {} = a_0 + b 0 ⋅ x ϕ 0 ′ ( x ) \displaystyle {} + b_0 \cdot x \quad \phi_0'(x) = b 0 \displaystyle {} = b_0 ϕ 1 ( x ) \displaystyle \phi_1(x) = a 1 \displaystyle {} = a_1 + b 1 ⋅ x ϕ 1 ′ ( x ) \displaystyle {} + b_1 \cdot x \quad \phi_1'(x) = b 1 \displaystyle {} = b_1 ϕ 2 ( x ) \displaystyle \phi_2(x) = a 2 \displaystyle {} = a_2 + b 2 ⋅ x ϕ 2 ′ ( x ) \displaystyle {} + b_2 \cdot x \quad \phi_2'(x) = b 2 \displaystyle {} = b_2 ϕ 3 ( x ) \displaystyle \phi_3(x) = a 3 \displaystyle {} = a_3 + b 3 ⋅ x ϕ 3 ′ ( x ) \displaystyle {} + b_3 \cdot x \quad \phi_3'(x) = b 3 \displaystyle {} = b_3 ϕ 4 ( x ) \displaystyle \phi_4(x) = a 4 \displaystyle {} = a_4 + b 4 ⋅ x ϕ 4 ′ ( x ) \displaystyle {} + b_4 \cdot x \quad \phi_4'(x) = b 4 \displaystyle {} = b_4 Коэффициенты принимают следующие значения. Введём обозначение l ( i ) ( i + 1 ) l_{(i)(i+1)} = x i + 1 {} = x_{i+1} − x i {} - x_i x i x_i x i + 1 x_{i+1}
Коэффициенты «крышек» для произвольного симплекса между точками x i x_i x i + 1 x_{i+1}
a i \displaystyle a_i = x i + 1 l ( i ) ( i + 1 ) b i \displaystyle {} = \frac{\displaystyle x_{i+1}}{\displaystyle l_{(i)(i+1)}} \quad b_i = − 1 l ( i ) ( i + 1 ) \displaystyle {} = \frac{\displaystyle -1}{\displaystyle l_{(i)(i+1)}} a i + 1 \displaystyle a_{i+1} = − x i l ( i ) ( i + 1 ) b i + 1 \displaystyle {} = \frac{\displaystyle -x_i}{\displaystyle l_{(i)(i+1)}} \quad b_{i+1} = 1 l ( i ) ( i + 1 ) \displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(i)(i+1)}} Для краевых «крышек» ϕ 0 \phi_0 ϕ 4 \phi_4
Подставим коэффициенты в пробные функции и выразим их относительно x x
Для симплекса s 1 s_1
υ ( 0 ) ( 1 ) ( x ) \displaystyle \upsilon_{(0)(1)}(x) = q 0 ⋅ ϕ 0 ( x ) \displaystyle {} = q_0 \cdot \phi_0(x) + q 1 ⋅ ϕ 1 ( x ) \displaystyle {} + q_1 \cdot \phi_1(x) = q 0 \displaystyle {} = q_0 ⋅ ( x 1 l ( 0 ) ( 1 ) − x l ( 0 ) ( 1 ) ) \displaystyle {} \cdot \left(\frac{\displaystyle x_1}{\displaystyle l_{(0)(1)}} - \frac{\displaystyle x}{\displaystyle l_{(0)(1)}}\right) + q 1 \displaystyle {} + q_1 ⋅ ( − x 0 l ( 0 ) ( 1 ) + x l ( 0 ) ( 1 ) ) \displaystyle {} \cdot \left(\frac{\displaystyle -x_0}{\displaystyle l_{(0)(1)}} + \frac{\displaystyle x}{\displaystyle l_{(0)(1)}}\right) = 1 l ( 0 ) ( 1 ) [ q 0 ⋅ ( x 1 − x ) + q 1 ⋅ ( x − x 0 ) ] \displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(0)(1)}} \left[q_0 \cdot (x_1 - x) + q_1 \cdot (x - x_0)\right] Для симплекса s 2 s_2
υ ( 1 ) ( 2 ) ( x ) \displaystyle \upsilon_{(1)(2)}(x) = q 1 ⋅ ϕ 1 ( x ) \displaystyle {} = q_1 \cdot \phi_1(x) + q 2 ⋅ ϕ 2 ( x ) \displaystyle {} + q_2 \cdot \phi_2(x) = q 1 \displaystyle {} = q_1 ⋅ ( x 2 l ( 1 ) ( 2 ) − x l ( 1 ) ( 2 ) ) \displaystyle {} \cdot \left(\frac{\displaystyle x_2}{\displaystyle l_{(1)(2)}} - \frac{\displaystyle x}{\displaystyle l_{(1)(2)}}\right) + q 2 \displaystyle {} + q_2 ⋅ ( − x 1 l ( 1 ) ( 2 ) + x l ( 1 ) ( 2 ) ) \displaystyle {} \cdot \left(\frac{\displaystyle -x_1}{\displaystyle l_{(1)(2)}} + \frac{\displaystyle x}{\displaystyle l_{(1)(2)}}\right) = 1 l ( 1 ) ( 2 ) [ q 1 ⋅ ( x 2 − x ) + q 2 ⋅ ( x − x 1 ) ] \displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(1)(2)}} \left[q_1 \cdot (x_2 - x) + q_2 \cdot (x - x_1)\right] Для симплекса s 3 s_3
υ ( 2 ) ( 3 ) ( x ) \displaystyle \upsilon_{(2)(3)}(x) = q 2 ⋅ ϕ 2 ( x ) \displaystyle {} = q_2 \cdot \phi_2(x) + q 3 ⋅ ϕ 3 ( x ) \displaystyle {} + q_3 \cdot \phi_3(x) = q 2 \displaystyle {} = q_2 ⋅ ( x 3 l ( 2 ) ( 3 ) − x l ( 2 ) ( 3 ) ) \displaystyle {} \cdot \left(\frac{\displaystyle x_3}{\displaystyle l_{(2)(3)}} - \frac{\displaystyle x}{\displaystyle l_{(2)(3)}}\right) + q 3 \displaystyle {} + q_3 ⋅ ( − x 2 l ( 2 ) ( 3 ) + x l ( 2 ) ( 3 ) ) \displaystyle {} \cdot \left(\frac{\displaystyle -x_2}{\displaystyle l_{(2)(3)}} + \frac{\displaystyle x}{\displaystyle l_{(2)(3)}}\right) = 1 l ( 2 ) ( 3 ) [ q 2 ⋅ ( x 3 − x ) + q 3 ⋅ ( x − x 2 ) ] \displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(2)(3)}} \left[q_2 \cdot (x_3 - x) + q_3 \cdot (x - x_2)\right] Для симплекса s 4 s_4
υ ( 3 ) ( 4 ) ( x ) \displaystyle \upsilon_{(3)(4)}(x) = q 3 ⋅ ϕ 3 ( x ) \displaystyle {} = q_3 \cdot \phi_3(x) + q 4 ⋅ ϕ 4 ( x ) \displaystyle {} + q_4 \cdot \phi_4(x) = q 3 \displaystyle {} = q_3 ⋅ ( x 4 l ( 3 ) ( 4 ) − x l ( 3 ) ( 4 ) ) \displaystyle {} \cdot \left(\frac{\displaystyle x_4}{\displaystyle l_{(3)(4)}} - \frac{\displaystyle x}{\displaystyle l_{(3)(4)}}\right) + q 4 \displaystyle {} + q_4 ⋅ ( − x 3 l ( 3 ) ( 4 ) + x l ( 3 ) ( 4 ) ) \displaystyle {} \cdot \left(\frac{\displaystyle -x_3}{\displaystyle l_{(3)(4)}} + \frac{\displaystyle x}{\displaystyle l_{(3)(4)}}\right) = 1 l ( 3 ) ( 4 ) [ q 3 ⋅ ( x 4 − x ) + q 4 ⋅ ( x − x 3 ) ] \displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(3)(4)}} \left[q_3 \cdot (x_4 - x) + q_4 \cdot (x - x_3)\right] Найдём производные пробных функций по x x
Для симплекса s 1 s_1
υ ( 0 ) ( 1 ) ′ ( x ) \displaystyle \upsilon'_{(0)(1)}(x) = 1 l ( 0 ) ( 1 ) ( q 1 − q 0 ) \displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(0)(1)}} (q_1 - q_0) Для симплекса s 2 s_2
υ ( 1 ) ( 2 ) ′ ( x ) \displaystyle \upsilon'_{(1)(2)}(x) = 1 l ( 1 ) ( 2 ) ( q 2 − q 1 ) \displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(1)(2)}} (q_2 - q_1) Для симплекса s 3 s_3
υ ( 2 ) ( 3 ) ′ ( x ) \displaystyle \upsilon'_{(2)(3)}(x) = 1 l ( 2 ) ( 3 ) ( q 3 − q 2 ) \displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(2)(3)}} (q_3 - q_2) Для симплекса s 4 s_4
υ ( 3 ) ( 4 ) ′ ( x ) \displaystyle \upsilon'_{(3)(4)}(x) = 1 l ( 3 ) ( 4 ) ( q 4 − q 3 ) \displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(3)(4)}} (q_4 - q_3) Вычислим квадраты пробных функций:
Для симплекса s 1 s_1
υ ( 0 ) ( 1 ) 2 ( x ) \displaystyle \upsilon_{(0)(1)}^2(x) = 1 l ( 0 ) ( 1 ) 2 [ q 0 ⋅ ( x 1 − x ) + q 1 ⋅ ( x − x 0 ) ] 2 \displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(0)(1)}^2} \left[q_0 \cdot (x_1 - x) + q_1 \cdot (x - x_0)\right]^2 = 1 l ( 0 ) ( 1 ) 2 [ q 0 2 ( x 1 − x ) 2 \displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(0)(1)}^2} \bigl[ q_0^2(x_1 - x)^2 + 2 q 0 q 1 ( x 1 − x ) ( x − x 0 ) \displaystyle {} + 2q_0q_1(x_1 - x)(x - x_0) + q 1 2 ( x − x 0 ) 2 ] \displaystyle {} + q_1^2(x - x_0)^2 \bigr] Для симплекса s 2 s_2
υ ( 1 ) ( 2 ) 2 ( x ) \displaystyle \upsilon_{(1)(2)}^2(x) = 1 l ( 1 ) ( 2 ) 2 [ q 1 ⋅ ( x 2 − x ) + q 2 ⋅ ( x − x 1 ) ] 2 \displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(1)(2)}^2} \left[q_1 \cdot (x_2 - x) + q_2 \cdot (x - x_1)\right]^2 = 1 l ( 1 ) ( 2 ) 2 [ q 1 2 ( x 2 − x ) 2 \displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(1)(2)}^2} \bigl[ q_1^2(x_2 - x)^2 + 2 q 1 q 2 ( x 2 − x ) ( x − x 1 ) \displaystyle {} + 2q_1q_2(x_2 - x)(x - x_1) + q 2 2 ( x − x 1 ) 2 ] \displaystyle {} + q_2^2(x - x_1)^2 \bigr] Для симплекса s 3 s_3
υ ( 2 ) ( 3 ) 2 ( x ) \displaystyle \upsilon_{(2)(3)}^2(x) = 1 l ( 2 ) ( 3 ) 2 [ q 2 ⋅ ( x 3 − x ) + q 3 ⋅ ( x − x 2 ) ] 2 \displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(2)(3)}^2} \left[q_2 \cdot (x_3 - x) + q_3 \cdot (x - x_2)\right]^2 = 1 l ( 2 ) ( 3 ) 2 [ q 2 2 ( x 3 − x ) 2 \displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(2)(3)}^2} \bigl[ q_2^2(x_3 - x)^2 + 2 q 2 q 3 ( x 3 − x ) ( x − x 2 ) \displaystyle {} + 2q_2q_3(x_3 - x)(x - x_2) + q 3 2 ( x − x 2 ) 2 ] \displaystyle {} + q_3^2(x - x_2)^2 \bigr] Для симплекса s 4 s_4
υ ( 3 ) ( 4 ) 2 ( x ) \displaystyle \upsilon_{(3)(4)}^2(x) = 1 l ( 3 ) ( 4 ) 2 [ q 3 ⋅ ( x 4 − x ) + q 4 ⋅ ( x − x 3 ) ] 2 \displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(3)(4)}^2} \left[q_3 \cdot (x_4 - x) + q_4 \cdot (x - x_3)\right]^2 = 1 l ( 3 ) ( 4 ) 2 [ q 3 2 ( x 4 − x ) 2 \displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(3)(4)}^2} \bigl[ q_3^2(x_4 - x)^2 + 2 q 3 q 4 ( x 4 − x ) ( x − x 3 ) \displaystyle {} + 2q_3q_4(x_4 - x)(x - x_3) + q 4 2 ( x − x 3 ) 2 ] \displaystyle {} + q_4^2(x - x_3)^2 \bigr] Вычислим квадраты производных пробных функций:
Для симплекса s 1 s_1
( υ ( 0 ) ( 1 ) ′ ( x ) ) 2 \displaystyle \left(\upsilon'_{(0)(1)}(x)\right)^2 = 1 l ( 0 ) ( 1 ) 2 ( q 1 − q 0 ) 2 \displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(0)(1)}^2} (q_1 - q_0)^2 = 1 l ( 0 ) ( 1 ) 2 ( q 0 2 − 2 q 0 q 1 + q 1 2 ) \displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(0)(1)}^2} \left(q_0^2 - 2q_0q_1 + q_1^2\right) Для симплекса s 2 s_2
( υ ( 1 ) ( 2 ) ′ ( x ) ) 2 \displaystyle \left(\upsilon'_{(1)(2)}(x)\right)^2 = 1 l ( 1 ) ( 2 ) 2 ( q 2 − q 1 ) 2 \displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(1)(2)}^2} (q_2 - q_1)^2 = 1 l ( 1 ) ( 2 ) 2 ( q 1 2 − 2 q 1 q 2 + q 2 2 ) \displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(1)(2)}^2} \left(q_1^2 - 2q_1q_2 + q_2^2\right) Для симплекса s 3 s_3
( υ ( 2 ) ( 3 ) ′ ( x ) ) 2 \displaystyle \left(\upsilon'_{(2)(3)}(x)\right)^2 = 1 l ( 2 ) ( 3 ) 2 ( q 3 − q 2 ) 2 \displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(2)(3)}^2} (q_3 - q_2)^2 = 1 l ( 2 ) ( 3 ) 2 ( q 2 2 − 2 q 2 q 3 + q 3 2 ) \displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(2)(3)}^2} \left(q_2^2 - 2q_2q_3 + q_3^2\right) Для симплекса s 4 s_4
( υ ( 3 ) ( 4 ) ′ ( x ) ) 2 \displaystyle \left(\upsilon'_{(3)(4)}(x)\right)^2 = 1 l ( 3 ) ( 4 ) 2 ( q 4 − q 3 ) 2 \displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(3)(4)}^2} (q_4 - q_3)^2 = 1 l ( 3 ) ( 4 ) 2 ( q 3 2 − 2 q 3 q 4 + q 4 2 ) \displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(3)(4)}^2} \left(q_3^2 - 2q_3q_4 + q_4^2\right) Запишем линейную аппроксимацию функции источника f ( x ) f(x) 6.36 e 1 \displaystyle e_1 = f i ⋅ x i + 1 − f i + 1 ⋅ x i x i + 1 − x i \displaystyle {} = \frac{\displaystyle f_i \cdot x_{i+1} - f_{i+1} \cdot x_i}{\displaystyle x_{i+1} - x_i} e 2 \displaystyle e_2 = f i + 1 − f i x i + 1 − x i \displaystyle {} = \frac{\displaystyle f_{i+1} - f_i}{\displaystyle x_{i+1} - x_i}
Для симплекса s 1 s_1 x 0 x_0 x 1 x_1
Поскольку функция плотности тепловых источников тождественно равна нулю на этом интервале:
f ~ ( 0 ) ( 1 ) ( x ) \displaystyle \widetilde{f}_{(0)(1)}(x) = 0. \displaystyle {} = 0. Для симплекса s 2 s_2 x 1 x_1 x 2 x_2
f ~ ( 1 ) ( 2 ) ( x ) \displaystyle \widetilde{f}_{(1)(2)}(x) = e 1 ( 1 ) ( 2 ) \displaystyle {} = e_1^{(1)(2)} + e 2 ( 1 ) ( 2 ) ⋅ x , \displaystyle {} + e_2^{(1)(2)} \cdot x, где:
e 1 ( 1 ) ( 2 ) \displaystyle e_1^{(1)(2)} = f 1 ⋅ x 2 − f 2 ⋅ x 1 x 2 − x 1 \displaystyle {} = \frac{\displaystyle f_1 \cdot x_2 - f_2 \cdot x_1}{\displaystyle x_2 - x_1} = f 1 ⋅ x 2 − f 2 ⋅ x 1 l ( 1 ) ( 2 ) \displaystyle {} = \frac{\displaystyle f_1 \cdot x_2 - f_2 \cdot x_1}{\displaystyle l_{(1)(2)}} e 2 ( 1 ) ( 2 ) \displaystyle e_2^{(1)(2)} = f 2 − f 1 x 2 − x 1 \displaystyle {} = \frac{\displaystyle f_2 - f_1}{\displaystyle x_2 - x_1} = f 2 − f 1 l ( 1 ) ( 2 ) \displaystyle {} = \frac{\displaystyle f_2 - f_1}{\displaystyle l_{(1)(2)}} Для симплекса s 3 s_3 x 2 x_2 x 3 x_3
f ~ ( 2 ) ( 3 ) ( x ) \displaystyle \widetilde{f}_{(2)(3)}(x) = e 1 ( 2 ) ( 3 ) \displaystyle {} = e_1^{(2)(3)} + e 2 ( 2 ) ( 3 ) ⋅ x , \displaystyle {} + e_2^{(2)(3)} \cdot x, где:
e 1 ( 2 ) ( 3 ) \displaystyle e_1^{(2)(3)} = f 2 ⋅ x 3 − f 3 ⋅ x 2 x 3 − x 2 \displaystyle {} = \frac{\displaystyle f_2 \cdot x_3 - f_3 \cdot x_2}{\displaystyle x_3 - x_2} = f 2 ⋅ x 3 − f 3 ⋅ x 2 l ( 2 ) ( 3 ) \displaystyle {} = \frac{\displaystyle f_2 \cdot x_3 - f_3 \cdot x_2}{\displaystyle l_{(2)(3)}} e 2 ( 2 ) ( 3 ) \displaystyle e_2^{(2)(3)} = f 3 − f 2 x 3 − x 2 \displaystyle {} = \frac{\displaystyle f_3 - f_2}{\displaystyle x_3 - x_2} = f 3 − f 2 l ( 2 ) ( 3 ) \displaystyle {} = \frac{\displaystyle f_3 - f_2}{\displaystyle l_{(2)(3)}} Для симплекса s 4 s_4 x 3 x_3 x 4 x_4
Поскольку функция плотности тепловых источников тождественно равна нулю на этом интервале:
f ~ ( 3 ) ( 4 ) ( x ) \displaystyle \widetilde{f}_{(3)(4)}(x) = 0. \displaystyle {} = 0. Теперь запишем произведение функции источника на соответствующие пробные функции для каждого симплекса.
Для симплекса s 1 s_1
Поскольку f ~ ( 0 ) ( 1 ) ( x ) \widetilde{f}_{(0)(1)}(x) = 0 {} = 0
f ~ ( 0 ) ( 1 ) ( x ) ⋅ υ ( 0 ) ( 1 ) ( x ) \displaystyle \widetilde{f}_{(0)(1)}(x) \cdot \upsilon_{(0)(1)}(x) = 0. \displaystyle {} = 0. Для симплекса s 2 s_2
f ~ ( 1 ) ( 2 ) ( x ) ⋅ υ ( 1 ) ( 2 ) ( x ) \displaystyle \widetilde{f}_{(1)(2)}(x) \cdot \upsilon_{(1)(2)}(x) = ( e 1 ( 1 ) ( 2 ) + e 2 ( 1 ) ( 2 ) ⋅ x ) \displaystyle {} = \left(e_1^{(1)(2)} + e_2^{(1)(2)} \cdot x\right) \quad ⋅ 1 l ( 1 ) ( 2 ) [ q 1 ⋅ ( x 2 − x ) + q 2 ⋅ ( x − x 1 ) ] . \displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(1)(2)}} \left[q_1 \cdot (x_2 - x) + q_2 \cdot (x - x_1)\right]. Подставляя значения e 1 ( 1 ) ( 2 ) e_1^{(1)(2)} e 2 ( 1 ) ( 2 ) e_2^{(1)(2)}
f ~ ( 1 ) ( 2 ) ( x ) ⋅ υ ( 1 ) ( 2 ) ( x ) \displaystyle \widetilde{f}_{(1)(2)}(x) \cdot \upsilon_{(1)(2)}(x) = 1 l ( 1 ) ( 2 ) 2 [ ( f 1 ⋅ x 2 − f 2 ⋅ x 1 ) + ( f 2 − f 1 ) ⋅ x ] \displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(1)(2)}^2} \left[(f_1 \cdot x_2 - f_2 \cdot x_1) + (f_2 - f_1) \cdot x\right] \quad ⋅ [ q 1 ⋅ ( x 2 − x ) + q 2 ⋅ ( x − x 1 ) ] . \displaystyle {} \cdot \left[q_1 \cdot (x_2 - x) + q_2 \cdot (x - x_1)\right]. Преобразуем первый множитель:
( f 1 ⋅ x 2 − f 2 ⋅ x 1 ) \displaystyle (f_1 \cdot x_2 - f_2 \cdot x_1) + ( f 2 − f 1 ) ⋅ x \displaystyle {} + (f_2 - f_1) \cdot x = f 1 ⋅ ( x 2 − x ) \displaystyle {} = f_1 \cdot (x_2 - x) + f 2 ⋅ ( x − x 1 ) . \displaystyle {} + f_2 \cdot (x - x_1). Следовательно:
f ~ ( 1 ) ( 2 ) ( x ) ⋅ υ ( 1 ) ( 2 ) ( x ) \displaystyle \widetilde{f}_{(1)(2)}(x) \cdot \upsilon_{(1)(2)}(x) = 1 l ( 1 ) ( 2 ) 2 [ f 1 ⋅ ( x 2 − x ) + f 2 ⋅ ( x − x 1 ) ] \displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(1)(2)}^2} \left[f_1 \cdot (x_2 - x) + f_2 \cdot (x - x_1)\right] \quad ⋅ [ q 1 ⋅ ( x 2 − x ) + q 2 ⋅ ( x − x 1 ) ] . \displaystyle {} \cdot \left[q_1 \cdot (x_2 - x) + q_2 \cdot (x - x_1)\right]. Раскроем скобки:
f ~ ( 1 ) ( 2 ) ( x ) ⋅ υ ( 1 ) ( 2 ) ( x ) \displaystyle \widetilde{f}_{(1)(2)}(x) \cdot \upsilon_{(1)(2)}(x) = 1 l ( 1 ) ( 2 ) 2 [ f 1 q 1 ( x 2 − x ) 2 + f 1 q 2 ( x 2 − x ) ( x − x 1 ) + f 2 q 1 ( x − x 1 ) ( x 2 − x ) + f 2 q 2 ( x − x 1 ) 2 ] . \displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(1)(2)}^2} \Big[ f_1 q_1 (x_2 - x)^2 + f_1 q_2 (x_2 - x)(x - x_1) + f_2 q_1 (x - x_1)(x_2 - x) + f_2 q_2 (x - x_1)^2 \Big]. Для симплекса s 3 s_3
f ~ ( 2 ) ( 3 ) ( x ) ⋅ υ ( 2 ) ( 3 ) ( x ) \displaystyle \widetilde{f}_{(2)(3)}(x) \cdot \upsilon_{(2)(3)}(x) = ( e 1 ( 2 ) ( 3 ) + e 2 ( 2 ) ( 3 ) ⋅ x ) \displaystyle {} = \left(e_1^{(2)(3)} + e_2^{(2)(3)} \cdot x\right) \quad ⋅ 1 l ( 2 ) ( 3 ) [ q 2 ⋅ ( x 3 − x ) + q 3 ⋅ ( x − x 2 ) ] . \displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(2)(3)}} \left[q_2 \cdot (x_3 - x) + q_3 \cdot (x - x_2)\right]. По аналогии с симплексом s 2 s_2
f ~ ( 2 ) ( 3 ) ( x ) ⋅ υ ( 2 ) ( 3 ) ( x ) \displaystyle \widetilde{f}_{(2)(3)}(x) \cdot \upsilon_{(2)(3)}(x) = 1 l ( 2 ) ( 3 ) 2 [ f 2 ⋅ ( x 3 − x ) + f 3 ⋅ ( x − x 2 ) ] \displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(2)(3)}^2} \left[f_2 \cdot (x_3 - x) + f_3 \cdot (x - x_2)\right] \quad ⋅ [ q 2 ⋅ ( x 3 − x ) + q 3 ⋅ ( x − x 2 ) ] . \displaystyle {} \cdot \left[q_2 \cdot (x_3 - x) + q_3 \cdot (x - x_2)\right]. Раскроем скобки:
f ~ ( 2 ) ( 3 ) ( x ) ⋅ υ ( 2 ) ( 3 ) ( x ) \displaystyle \widetilde{f}_{(2)(3)}(x) \cdot \upsilon_{(2)(3)}(x) = 1 l ( 2 ) ( 3 ) 2 [ f 2 q 2 ( x 3 − x ) 2 + f 2 q 3 ( x 3 − x ) ( x − x 2 ) + f 3 q 2 ( x − x 2 ) ( x 3 − x ) + f 3 q 3 ( x − x 2 ) 2 ] . \displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(2)(3)}^2} \Big[ f_2 q_2 (x_3 - x)^2 + f_2 q_3 (x_3 - x)(x - x_2) + f_3 q_2 (x - x_2)(x_3 - x) + f_3 q_3 (x - x_2)^2 \Big]. Для симплекса s 4 s_4
Поскольку f ~ ( 3 ) ( 4 ) ( x ) \widetilde{f}_{(3)(4)}(x) = 0 {} = 0
f ~ ( 3 ) ( 4 ) ( x ) ⋅ υ ( 3 ) ( 4 ) ( x ) \displaystyle \widetilde{f}_{(3)(4)}(x) \cdot \upsilon_{(3)(4)}(x) = 0. \displaystyle {} = 0. Перейдём к граничному члену. Граница одномерной области — две точки x 0 x_0 x 4 x_4
∫ S υ ⋅ ∇ υ d S \displaystyle \int_S \upsilon \cdot \nabla \upsilon \,dS = q 0 ⋅ ∂ u ∂ n ∣ x = x 0 \displaystyle {} = q_0 \cdot \frac{\partial u}{\partial n}\bigg|_{x=x_0} + q 4 ⋅ ∂ u ∂ n ∣ x = x 4 . \displaystyle {} + q_4 \cdot \frac{\partial u}{\partial n}\bigg|_{x=x_4}. Поскольку в этом примере заданы условия Неймана, нормальная производная на границе известна: ∂ u ∂ n ∣ x = x 0 \frac{\partial u}{\partial n}\bigg|_{x=x_0} = g 0 {} = g_0 ∂ u ∂ n ∣ x = x 4 \frac{\partial u}{\partial n}\bigg|_{x=x_4} = g 4 {} = g_4
Интеграл жёсткости для каждого симплекса вычисляется как интеграл квадрата производной пробной функции. Поскольку производные пробных функций являются константами, интегрирование сводится к умножению на длину симплекса.
Согласно локальной формуле из раздела «Матрица жёсткости 1D», для каждого симплекса этот интеграл равен 1 l ( i ) ( i + 1 ) ( q i 2 − 2 q i q i + 1 + q i + 1 2 ) \frac{1}{l_{(i)(i+1)}}\left(q_i^2 - 2 q_i q_{i+1} + q_{i+1}^2\right)
Общий интеграл жёсткости по всей области M M
∫ M ( ∇ υ ) 2 d M \displaystyle \int_M (\nabla \upsilon)^2 \,dM = ∑ i = 1 4 ∫ s i ( υ ′ ( x ) ) 2 d x \displaystyle {} = \sum_{i=1}^{4} \int_{s_i} \left(\upsilon'(x)\right)^2 \,dx = 1 l ( 0 ) ( 1 ) ( q 0 2 − 2 q 0 q 1 + q 1 2 ) \displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(0)(1)}} \left(q_0^2 - 2q_0q_1 + q_1^2\right) + 1 l ( 1 ) ( 2 ) ( q 1 2 − 2 q 1 q 2 + q 2 2 ) \displaystyle {} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(1)(2)}} \left(q_1^2 - 2q_1q_2 + q_2^2\right) \displaystyle \quad + 1 l ( 2 ) ( 3 ) ( q 2 2 − 2 q 2 q 3 + q 3 2 ) \displaystyle {} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(2)(3)}} \left(q_2^2 - 2q_2q_3 + q_3^2\right) + 1 l ( 3 ) ( 4 ) ( q 3 2 − 2 q 3 q 4 + q 4 2 ) . \displaystyle {} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(3)(4)}} \left(q_3^2 - 2q_3q_4 + q_4^2\right). Интеграл демпфирования для каждого симплекса вычисляется как интеграл квадрата пробной функции.
Согласно локальной формуле из раздела «Матрица демпфирования 1D», интеграл квадрата пробной функции на симплексе равен l ( i ) ( i + 1 ) 3 ( q i 2 + q i q i + 1 + q i + 1 2 ) \frac{l_{(i)(i+1)}}{3}\left(q_i^2 + q_i q_{i+1} + q_{i+1}^2\right)
Общий интеграл демпфирования по всей области M M
∫ M υ 2 d M \displaystyle \int_M \upsilon^2 \,dM = ∑ i = 1 4 ∫ s i υ 2 ( x ) d x \displaystyle {} = \sum_{i=1}^{4} \int_{s_i} \upsilon^2(x) \,dx = l ( 0 ) ( 1 ) 3 ( q 0 2 + q 0 q 1 + q 1 2 ) \displaystyle {} = \frac{\displaystyle l_{(0)(1)}}{\displaystyle 3} \left(q_0^2 + q_0q_1 + q_1^2\right) + l ( 1 ) ( 2 ) 3 ( q 1 2 + q 1 q 2 + q 2 2 ) \displaystyle {} + \frac{\displaystyle l_{(1)(2)}}{\displaystyle 3} \left(q_1^2 + q_1q_2 + q_2^2\right) \displaystyle \quad + l ( 2 ) ( 3 ) 3 ( q 2 2 + q 2 q 3 + q 3 2 ) \displaystyle {} + \frac{\displaystyle l_{(2)(3)}}{\displaystyle 3} \left(q_2^2 + q_2q_3 + q_3^2\right) + l ( 3 ) ( 4 ) 3 ( q 3 2 + q 3 q 4 + q 4 2 ) . \displaystyle {} + \frac{\displaystyle l_{(3)(4)}}{\displaystyle 3} \left(q_3^2 + q_3q_4 + q_4^2\right). Интеграл нагрузки для каждого симплекса вычисляется как интеграл произведения функции источника на пробную функцию.
Согласно локальной формуле из раздела «Вектор нагрузки 1D», на крайних симплексах s 1 s_1 s 4 s_4 s 2 s_2 s 3 s_3
Общий интеграл нагрузки по всей области M M
∫ M f ~ ( x ) ⋅ υ ( x ) d M \displaystyle \int_M \widetilde{f}(x) \cdot \upsilon(x) \,dM = ∑ i = 1 4 ∫ s i f ~ ( x ) ⋅ υ ( x ) d x \displaystyle {} = \sum_{i=1}^{4} \int_{s_i} \widetilde{f}(x) \cdot \upsilon(x) \,dx = 0 \displaystyle {} = 0 + l ( 1 ) ( 2 ) 6 ( 2 f 1 q 1 + f 1 q 2 + f 2 q 1 + 2 f 2 q 2 ) \displaystyle {} + \frac{\displaystyle l_{(1)(2)}}{\displaystyle 6} \left(2f_1 q_1 + f_1 q_2 + f_2 q_1 + 2f_2 q_2\right) \displaystyle \quad + l ( 2 ) ( 3 ) 6 ( 2 f 2 q 2 + f 2 q 3 + f 3 q 2 + 2 f 3 q 3 ) \displaystyle {} + \frac{\displaystyle l_{(2)(3)}}{\displaystyle 6} \left(2f_2 q_2 + f_2 q_3 + f_3 q_2 + 2f_3 q_3\right) + 0. \displaystyle {} + 0. Упростив:
∫ M f ~ ( x ) ⋅ υ ( x ) d M \displaystyle \int_M \widetilde{f}(x) \cdot \upsilon(x) \,dM = l ( 1 ) ( 2 ) 6 ( 2 f 1 q 1 + f 1 q 2 + f 2 q 1 + 2 f 2 q 2 ) \displaystyle {} = \frac{\displaystyle l_{(1)(2)}}{\displaystyle 6} \left(2f_1 q_1 + f_1 q_2 + f_2 q_1 + 2f_2 q_2\right) \quad + l ( 2 ) ( 3 ) 6 ( 2 f 2 q 2 + f 2 q 3 + f 3 q 2 + 2 f 3 q 3 ) . \displaystyle {} + \frac{\displaystyle l_{(2)(3)}}{\displaystyle 6} \left(2f_2 q_2 + f_2 q_3 + f_3 q_2 + 2f_3 q_3\right). Запишем все полученные интегралы в матричной форме. Введём вектор неизвестных q → \overrightarrow{q} = ( q 0 q 1 q 2 q 3 q 4 ) T {} = \begin{pmatrix} q_0 & q_1 & q_2 & q_3 & q_4 \end{pmatrix}^T
Интеграл жёсткости можно записать в матричном виде:
∫ M ( ∇ υ ) 2 d M \displaystyle \int_M (\nabla \upsilon)^2 \,dM = q → T ⋅ K ⋅ q → , \displaystyle {} = \overrightarrow{q}^T \cdot K \cdot \overrightarrow{q}, где K K 5 × 5 5 \times 5
Матрица K K
Интеграл демпфирования можно записать в матричном виде:
∫ M υ 2 d M \displaystyle \int_M \upsilon^2 \,dM = q → T ⋅ D ⋅ q → , \displaystyle {} = \overrightarrow{q}^T \cdot D \cdot \overrightarrow{q}, где D D 5 × 5 5 \times 5
D \displaystyle D = ( l ( 0 ) ( 1 ) 3 l ( 0 ) ( 1 ) 6 0 0 0 l ( 0 ) ( 1 ) 6 l ( 0 ) ( 1 ) 3 + l ( 1 ) ( 2 ) 3 l ( 1 ) ( 2 ) 6 0 0 0 l ( 1 ) ( 2 ) 6 l ( 1 ) ( 2 ) 3 + l ( 2 ) ( 3 ) 3 l ( 2 ) ( 3 ) 6 0 0 0 l ( 2 ) ( 3 ) 6 l ( 2 ) ( 3 ) 3 + l ( 3 ) ( 4 ) 3 l ( 3 ) ( 4 ) 6 0 0 0 l ( 3 ) ( 4 ) 6 l ( 3 ) ( 4 ) 3 ) . \displaystyle {} = \begin{pmatrix} \frac{l_{(0)(1)}}{3} & \frac{l_{(0)(1)}}{6} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{l_{(0)(1)}}{6} & \frac{l_{(0)(1)}}{3} + \frac{l_{(1)(2)}}{3} & \frac{l_{(1)(2)}}{6} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{l_{(1)(2)}}{6} & \frac{l_{(1)(2)}}{3} + \frac{l_{(2)(3)}}{3} & \frac{l_{(2)(3)}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{l_{(2)(3)}}{6} & \frac{l_{(2)(3)}}{3} + \frac{l_{(3)(4)}}{3} & \frac{l_{(3)(4)}}{6} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{l_{(3)(4)}}{6} & \frac{l_{(3)(4)}}{3} \end{pmatrix}. Матрица D D
Интеграл нагрузки можно записать в матричном виде:
∫ M f ~ ( x ) ⋅ υ ( x ) d M \displaystyle \int_M \widetilde{f}(x) \cdot \upsilon(x) \,dM = F → T ⋅ q → , \displaystyle {} = \overrightarrow{F}^T \cdot \overrightarrow{q}, где F → \overrightarrow{F} 5 × 1 5 \times 1
F → \displaystyle \overrightarrow{F} = ( 0 2 f 1 ⋅ l ( 1 ) ( 2 ) 6 + f 2 ⋅ l ( 1 ) ( 2 ) 6 f 1 ⋅ l ( 1 ) ( 2 ) 6 + 2 f 2 ⋅ l ( 1 ) ( 2 ) 6 + 2 f 2 ⋅ l ( 2 ) ( 3 ) 6 + f 3 ⋅ l ( 2 ) ( 3 ) 6 f 2 ⋅ l ( 2 ) ( 3 ) 6 + 2 f 3 ⋅ l ( 2 ) ( 3 ) 6 0 ) . \displaystyle {} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{2f_1 \cdot l_{(1)(2)}}{6} + \frac{f_2 \cdot l_{(1)(2)}}{6} \\ \frac{f_1 \cdot l_{(1)(2)}}{6} + \frac{2f_2 \cdot l_{(1)(2)}}{6} + \frac{2f_2 \cdot l_{(2)(3)}}{6} + \frac{f_3 \cdot l_{(2)(3)}}{6} \\ \frac{f_2 \cdot l_{(2)(3)}}{6} + \frac{2f_3 \cdot l_{(2)(3)}}{6} \\ 0 \end{pmatrix}. Упростив, получим:
F → \displaystyle \overrightarrow{F} = ( 0 l ( 1 ) ( 2 ) 6 ( 2 f 1 + f 2 ) f 1 ⋅ l ( 1 ) ( 2 ) 6 + f 2 ( l ( 1 ) ( 2 ) + l ( 2 ) ( 3 ) ) 3 + f 3 ⋅ l ( 2 ) ( 3 ) 6 l ( 2 ) ( 3 ) 6 ( f 2 + 2 f 3 ) 0 ) . \displaystyle {} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{l_{(1)(2)}}{6} \left(2f_1 + f_2\right) \\ \frac{f_1 \cdot l_{(1)(2)}}{6} + \frac{f_2 (l_{(1)(2)} + l_{(2)(3)})}{3} + \frac{f_3 \cdot l_{(2)(3)}}{6} \\ \frac{l_{(2)(3)}}{6} \left(f_2 + 2f_3\right) \\ 0 \end{pmatrix}. Граничный интеграл, как показано выше, в матрицу не сворачивается — он даёт вектор потока в правую часть, ненулевой только в граничных узлах:
a 2 s → \displaystyle a^2 \overrightarrow{s} = a 2 \displaystyle {} = a^2 ( g 0 0 0 0 g 4 ) . \displaystyle \begin{pmatrix} g_0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ g_4 \end{pmatrix}. Стационарное уравнение
Согласно (I.8 a 2 K ⋅ q → \displaystyle a^2 K \cdot \overrightarrow{q} = F → \displaystyle {} = \overrightarrow{F} + a 2 s → , \displaystyle {} + a^2 \overrightarrow{s},
a 2 K ⋅ q → \displaystyle a^2 K \cdot \overrightarrow{q} = F → \displaystyle {} = \overrightarrow{F} + a 2 s → . \displaystyle {} + a^2 \overrightarrow{s}. Нестационарное уравнение
Согласно (I.9 [ D + Δ t ⋅ a 2 K ] ⋅ q → n \displaystyle \left[ D + \Delta t \cdot a^2 K \right] \cdot \overrightarrow{q}_n = Δ t ⋅ F → \displaystyle {} = \Delta t \cdot \overrightarrow{F} + D ⋅ q → n − 1 \displaystyle {} + D \cdot \overrightarrow{q}_{n-1} + Δ t ⋅ a 2 s → . \displaystyle {} + \Delta t \cdot a^2 \overrightarrow{s}.
[ D + Δ t ⋅ a 2 K ] ⋅ q → n \displaystyle \left[D + \Delta t \cdot a^2 K\right] \cdot \overrightarrow{q}_n = Δ t ⋅ F → \displaystyle {} = \Delta t \cdot \overrightarrow{F} + D ⋅ q → n − 1 \displaystyle {} + D \cdot \overrightarrow{q}_{n-1} + Δ t ⋅ a 2 s → . \displaystyle {} + \Delta t \cdot a^2 \overrightarrow{s}. Обозначения:
K K 5 × 5 5 \times 5 D D 5 × 5 5 \times 5 F → \overrightarrow{F} 5 × 1 5 \times 1 q → \overrightarrow{q} 5 × 1 5 \times 1 q → n , q → n − 1 \overrightarrow{q}_n, \overrightarrow{q}_{n-1} a a Δ t \Delta t Матрицы K K D D a 2 K a^2 K K ⋅ 1 → K\cdot\overrightarrow{1} = 0 {} =0
I. Функционал метода Бубнова–Галёркина K. Учёт граничных условий Дирихле 