Матрица жёсткости 2D

Теперь вычислим матрицу жёсткости для двумерного случая. В двумерном пространстве градиент имеет вид $\nabla \upsilon$​${} = \left( \frac{\displaystyle \partial \upsilon}{\displaystyle \partial x}, \frac{\displaystyle \partial \upsilon}{\displaystyle \partial y} \right)$, а скалярное произведение градиента с самим собой равно $\nabla \upsilon \cdot \nabla \upsilon$​${} = \left( \frac{\displaystyle \partial \upsilon}{\displaystyle \partial x} \right)^2$​${} + \left( \frac{\displaystyle \partial \upsilon}{\displaystyle \partial y} \right)^2$. Учитывая, что двумерная расчётная область $M$ разбита на симплексы-треугольники, исследуемую часть функционала для одного треугольника с вершинами $(x_i, y_i), (x_{i+1}, y_{i+1}), (x_{i+2}, y_{i+2})$ можно записать как

Функция $\upsilon(x, y)$​${} = \sum_{i=1}^N \upsilon_i(x, y)$. Пробная функция на треугольнике имеет вид $\upsilon_{(i)(i+2)}(x, y)$​${} = q_i \cdot \phi_i(x, y)$​${} + q_{i+1} \cdot \phi_{i+1}(x, y)$​${} + q_{i+2} \cdot \phi_{i+2}(x, y)$. Примем во внимание (5.9$\displaystyle \begin{cases} a_{i} + b_{i} \cdot x_i + c_{i} \cdot y_i = 1\\ a_{i} + b_{i} \cdot x_{i+1} + c_{i} \cdot y_{i+1} = 0\\ a_{i} + b_{i} \cdot x_{i+2} + c_{i} \cdot y_{i+2} = 0 \end{cases}$​$\displaystyle \begin{cases} a_{i+1} + b_{i+1} \cdot x_i + c_{i+1} \cdot y_i = 0\\ a_{i+1} + b_{i+1} \cdot x_{i+1} + c_{i+1} \cdot y_{i+1} = 1\\ a_{i+1} + b_{i+1} \cdot x_{i+2} + c_{i+1} \cdot y_{i+2} = 0 \end{cases}$​$\displaystyle \begin{cases} a_{i+2} + b_{i+2} \cdot x_i + c_{i+2} \cdot y_i = 0\\ a_{i+2} + b_{i+2} \cdot x_{i+1} + c_{i+2} \cdot y_{i+1} = 0\\ a_{i+2} + b_{i+2} \cdot x_{i+2} + c_{i+2} \cdot y_{i+2} = 1 \end{cases}$) и (5.10$\displaystyle \begin{cases} a_{i} = (x_{i+1} \cdot y_{i+2} - x_{i+2} \cdot y_{i+1}) / \det\\ b_{i} = (y_{i+1} - y_{i+2}) / \det\\ c_{i} = (-x_{i+1} + x_{i+2}) / \det \end{cases}$​$\displaystyle \begin{cases} a_{i+1} = ( - x_i \cdot y_{i+2} + x_{i+2} \cdot y_i) / \det\\ b_{i+1} = (-y_i + y_{i+2}) / \det\\ c_{i+1} = (x_i - x_{i+2}) / \det \end{cases}$​$\displaystyle \begin{cases} a_{i+2} = (x_i \cdot y_{i+1} - x_{i+1} \cdot y_i) / \det\\ b_{i+2} = (y_i - y_{i+1}) / \det\\ c_{i+2} = (-x_i + x_{i+1}) / \det \end{cases}$) из раздела о функциях «крышек» и запишем соотношения для функций «крышек»

Вычислим частные производные пробной функции

Заметим, что производные не зависят от $x$ и $y$ и являются константами на треугольнике. Подставим (6.8$\displaystyle \frac{\displaystyle \partial \upsilon_{(i)(i+2)}(x, y)}{\displaystyle \partial x}$ $\displaystyle {} = q_i \cdot b_i$​$\displaystyle {} + q_{i+1} \cdot b_{i+1}$​$\displaystyle {} + q_{i+2} \cdot b_{i+2}$$\displaystyle \frac{\displaystyle \partial \upsilon_{(i)(i+2)}(x, y)}{\displaystyle \partial y}$ $\displaystyle {} = q_i \cdot c_i$​$\displaystyle {} + q_{i+1} \cdot c_{i+1}$​$\displaystyle {} + q_{i+2} \cdot c_{i+2}$) в (6.6$$\int_{\triangle} \left[ \left( \frac{\displaystyle \partial \upsilon}{\displaystyle \partial x} \right)^2 + \left( \frac{\displaystyle \partial \upsilon}{\displaystyle \partial y} \right)^2 \right] \,dS.$$)

где $S_{\triangle}$ — площадь треугольника, которая вычисляется по формуле

где $d$​${} = x_i \cdot y_{i+1}$​${} - x_i \cdot y_{i+2}$​${} - x_{i+1} \cdot y_i$​${} + x_{i+1} \cdot y_{i+2}$​${} + x_{i+2} \cdot y_i$​${} - x_{i+2} \cdot y_{i+1}$ — определитель из (5.10$\displaystyle \begin{cases} a_{i} = (x_{i+1} \cdot y_{i+2} - x_{i+2} \cdot y_{i+1}) / \det\\ b_{i} = (y_{i+1} - y_{i+2}) / \det\\ c_{i} = (-x_{i+1} + x_{i+2}) / \det \end{cases}$​$\displaystyle \begin{cases} a_{i+1} = ( - x_i \cdot y_{i+2} + x_{i+2} \cdot y_i) / \det\\ b_{i+1} = (-y_i + y_{i+2}) / \det\\ c_{i+1} = (x_i - x_{i+2}) / \det \end{cases}$​$\displaystyle \begin{cases} a_{i+2} = (x_i \cdot y_{i+1} - x_{i+1} \cdot y_i) / \det\\ b_{i+2} = (y_i - y_{i+1}) / \det\\ c_{i+2} = (-x_i + x_{i+1}) / \det \end{cases}$).

Раскроем квадраты и перегруппируем члены

Примем во внимание формулы из (5.10$\displaystyle \begin{cases} a_{i} = (x_{i+1} \cdot y_{i+2} - x_{i+2} \cdot y_{i+1}) / \det\\ b_{i} = (y_{i+1} - y_{i+2}) / \det\\ c_{i} = (-x_{i+1} + x_{i+2}) / \det \end{cases}$​$\displaystyle \begin{cases} a_{i+1} = ( - x_i \cdot y_{i+2} + x_{i+2} \cdot y_i) / \det\\ b_{i+1} = (-y_i + y_{i+2}) / \det\\ c_{i+1} = (x_i - x_{i+2}) / \det \end{cases}$​$\displaystyle \begin{cases} a_{i+2} = (x_i \cdot y_{i+1} - x_{i+1} \cdot y_i) / \det\\ b_{i+2} = (y_i - y_{i+1}) / \det\\ c_{i+2} = (-x_i + x_{i+1}) / \det \end{cases}$) для коэффициентов $b$ и $c$ и введём обозначения для элементов локальной матрицы жёсткости треугольника

Таким образом, локальная матрица жёсткости для треугольного элемента имеет вид

Глобальная матрица жёсткости $\mathbf{K}$ получается путём суммирования вкладов от всех треугольных элементов сетки методом сборки: элементы локальных матриц добавляются к соответствующим элементам глобальной матрицы согласно глобальной нумерации узлов. Размерность глобальной матрицы жёсткости равна $N \times N$, где $N$ — общее количество узлов сетки.