L. Учёт граничных условий Неймана

Граничные условия Неймана учитываются намного проще, чем Дирихле: заданный на границе поток сразу даёт вектор s⃗\vec{s} (ненулевой только в граничных узлах), который входит только в правую часть системы — матрицу жёсткости a2Ka^2 K менять не нужно.

Стационарный случай

Для примера с пятью узлами (заданы потоки g0g_0 и g4g_4; источник на крайних симплексах нулевой, F0=F4=0F_0 = F_4 = 0) модифицированный вектор правой части:

P⃗=F⃗+a2s⃗=(a2g0F1F2F3a2g4).\begin{gathered}\vec{P} = \vec{F} + a^2 \vec{s} = \begin{pmatrix} a^2 g_0 \\ F_1 \\ F_2 \\ F_3 \\ a^2 g_4 \end{pmatrix}.\end{gathered}

Нестационарный случай

Для нестационарной задачи оператор — D+Δt⋅a2KD + \Delta t \cdot a^2 K, а поток входит в правую часть с множителем Δt\Delta t:

[D+Δt⋅a2K]⋅q⃗n=Δt⋅F⃗+D⋅q⃗n−1+Δt⋅a2s⃗.\left[D + \Delta t \cdot a^2 K\right] \cdot \vec{q}_n = \Delta t \cdot \vec{F} + D \cdot \vec{q}_{n-1} + \Delta t \cdot a^2 \vec{s}.

Модифицированный вектор правой части:

P⃗=Δt⋅F⃗+D⋅q⃗n−1+Δt⋅a2s⃗=Δt⋅F⃗+D⋅q⃗n−1+(Δt⋅a2g0000Δt⋅a2g4).\vec{P} = \Delta t \cdot \vec{F} + D \cdot \vec{q}_{n-1} + \Delta t \cdot a^2 \vec{s} = \Delta t \cdot \vec{F} + D \cdot \vec{q}_{n-1} + \begin{pmatrix} \Delta t \cdot a^2 g_0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \Delta t \cdot a^2 g_4 \end{pmatrix}.

Оператор D+Δt⋅a2KD + \Delta t \cdot a^2 K уже невырожден (матрица демпфирования DD положительно определена, (D+Δt⋅a2K) 1⃗=D1⃗≠0(D + \Delta t \cdot a^2 K)\,\vec{1} = D \vec{1} \neq 0), поэтому нестационарная задача Неймана разрешима даже без условий Дирихле.

K. Учёт граничных условий ДирихлеM. Триангуляция методом «разделяй и властвуй»