L. Учёт граничных условий Неймана — Метод конечных элементов

Граничные условия Неймана учитываются намного проще, чем Дирихле: заданный на границе поток сразу даёт вектор $\overrightarrow{s}$ (ненулевой только в граничных узлах), который входит только в правую часть системы — матрицу жёсткости $a^2 K$ менять не нужно.

Стационарный случай

Для примера с пятью узлами (заданы потоки $g_0$ и $g_4$ ; источник на крайних симплексах нулевой, $F_0$ ${} = F_4$ ${} = 0$ ) модифицированный вектор правой части:

\displaystyle \overrightarrow{P}

\displaystyle {} = \overrightarrow{F}

\displaystyle {} + a^2 \overrightarrow{s}

\displaystyle {} = \begin{pmatrix} a^2 g_0 \\ F_1 \\ F_2 \\ F_3 \\ a^2 g_4 \end{pmatrix}.

Нестационарный случай

Для нестационарной задачи оператор — $D$ ${} + \Delta t \cdot a^2 K$ , а поток входит в правую часть с множителем $\Delta t$ :

\displaystyle \left[D + \Delta t \cdot a^2 K\right] \cdot \overrightarrow{q}_n

\displaystyle {} = \Delta t \cdot \overrightarrow{F}

\displaystyle {} + D \cdot \overrightarrow{q}_{n-1}

\displaystyle {} + \Delta t \cdot a^2 \overrightarrow{s}.

Модифицированный вектор правой части:

\displaystyle \overrightarrow{P}

\displaystyle {} = \Delta t \cdot \overrightarrow{F}

\displaystyle {} + D \cdot \overrightarrow{q}_{n-1}

\displaystyle {} + \Delta t \cdot a^2 \overrightarrow{s}

\displaystyle {} = \Delta t \cdot \overrightarrow{F}

\displaystyle {} + D \cdot \overrightarrow{q}_{n-1}

\displaystyle {} + \begin{pmatrix} \Delta t \cdot a^2 g_0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \Delta t \cdot a^2 g_4 \end{pmatrix}.

Оператор $D$ ${} + \Delta t \cdot a^2 K$ уже невырожден (матрица демпфирования $D$ положительно определена, $(D + \Delta t \cdot a^2 K)\,\overrightarrow{1}$ ${} = D \overrightarrow{1}$ ${} \neq 0$ ), поэтому нестационарная задача Неймана разрешима даже без условий Дирихле.