Трёхмерная краевая задача теплопроводности

Рассмотрим трёхмерную несимметричную задачу теплопроводности в шаре радиуса RR. Уравнение теплопроводности (1.8) в сферических координатах принимает вид

∂T(r,θ,ϕ,t)∂t\displaystyle \frac{\partial T(r, \theta, \phi, t)}{\partial t} =a2⋅∂2T(r,θ,ϕ,t)∂r2\displaystyle {} = a^2 \cdot \frac{\partial^2 T(r, \theta, \phi, t)}{\partial r^2}​+2⋅a2r⋅∂T(r,θ,ϕ,t)∂r\displaystyle {} + \frac{2 \cdot a^2}{r} \cdot \frac{\partial T(r, \theta, \phi, t)}{\partial r}​+a2r2⋅sin⁡(θ)\displaystyle {} + \frac{a^2}{r^2 \cdot \sin(\theta)}​⋅∂∂θ(sin⁡(θ)⋅∂T(r,θ,ϕ,t)∂θ)\displaystyle {} \cdot \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin(\theta) \cdot \frac{\partial T(r, \theta, \phi, t)}{\partial \theta} \right)​+a2r2⋅sin⁡2θ\displaystyle {} + \frac{a^2}{r^2 \cdot \sin^2 \theta}​⋅∂2T(r,θ,ϕ,t)∂ϕ2\displaystyle {} \cdot \frac{\partial^2 T(r, \theta, \phi, t)}{\partial \phi^2}​+f(r,θ,ϕ,t),\displaystyle {} + f(r, \theta, \phi, t),
(2.71)

где rr​∈(0,R){} \in (0,R), θ\theta​∈(0,π){} \in (0,\pi), ϕ\phi​∈(0,2π){} \in (0,2\pi), RR — радиус, T(r,θ,ϕ,t)T(r, \theta, \phi, t) — температура, a2a^2 — коэффициент температуропроводности, f(r,θ,ϕ,t)f(r, \theta, \phi, t) — функция плотности тепловых источников.

Краевые условия Дирихле (1.13) в трёхмерном случае имеют вид

T(r,θ,ϕ,0)\displaystyle T(r, \theta, \phi, 0) =T0(r,θ,ϕ),\displaystyle {} = T_0(r, \theta, \phi),T(R,θ,ϕ,t)\displaystyle T(R, \theta, \phi, t) =Φ(θ,ϕ,t),\displaystyle {} = \Phi(\theta, \phi, t),∣T(r,0,ϕ,t)∣\displaystyle |T(r, 0, \phi, t)| <∞,\displaystyle {} < \infty,​∣T(r,π,ϕ,t)∣\displaystyle |T(r, \pi, \phi, t)|​<∞,\displaystyle {} < \infty,T(r,θ,ϕ,t)\displaystyle T(r, \theta, \phi, t) =T(r,θ,ϕ+2π,t),\displaystyle {} = T(r, \theta, \phi + 2\pi, t),
(2.72)

где T0(r,θ,ϕ)T_0(r, \theta, \phi) — начальное условие, Φ(θ,ϕ,t)\Phi(\theta, \phi, t) — граничное условие, которое, разумеется, периодично по ϕ\phi; на полюсах (θ\theta​=0{} = 0 и θ\theta​=π{} = \pi) вместо граничных условий ставится условие ограниченности решения.

Для избавления от неоднородности введём T(r,θ,ϕ,t)T(r, \theta, \phi, t)​=T^(r,θ,ϕ,t){} = \widehat{T}(r, \theta, \phi, t)​+U(θ,ϕ,t){} + U(\theta, \phi, t), выберем функцию U(θ,ϕ,t)U(\theta, \phi, t)​=Φ(θ,ϕ,t){} = \Phi(\theta, \phi, t), в соответствии с (2.2). Тогда уравнение (2.71) и краевые условия (2.72) примут вид

∂T^(r,θ,ϕ,t)∂t\displaystyle \frac{\displaystyle \partial \widehat{T}(r, \theta, \phi, t)}{\displaystyle \partial t} =a2⋅∂2T^(r,θ,ϕ,t)∂r2\displaystyle {} = a^2 \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 \widehat{T}(r, \theta, \phi, t)}{\displaystyle \partial r^2}​+2⋅a2r⋅∂T^(r,θ,ϕ,t)∂r\displaystyle {} + \frac{2 \cdot a^2}{r} \cdot \frac{\displaystyle \partial \widehat{T}(r, \theta, \phi, t)}{\displaystyle \partial r}​+a2r2⋅sin⁡(θ)\displaystyle {} + \frac{a^2}{r^2 \cdot \sin(\theta)}​⋅∂∂θ(sin⁡(θ)⋅∂T^(r,θ,ϕ,t)∂θ)\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle \partial}{\displaystyle \partial \theta} \left( \sin(\theta) \cdot \frac{\displaystyle \partial \widehat{T}(r, \theta, \phi, t)}{\displaystyle \partial \theta} \right)​+a2r2⋅sin⁡2θ\displaystyle {} + \frac{a^2}{r^2 \cdot \sin^2 \theta}​⋅∂2T^(r,θ,ϕ,t)∂ϕ2\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 \widehat{T}(r, \theta, \phi, t)}{\displaystyle \partial \phi^2}​+f^(r,θ,ϕ,t),\displaystyle {} + \widehat{f}(r, \theta, \phi, t),T^(r,θ,ϕ,0)\displaystyle \widehat{T}(r, \theta, \phi, 0) =T0(r,θ,ϕ)\displaystyle {} = T_0(r, \theta, \phi)​−U(θ,ϕ,0),\displaystyle {} - U(\theta, \phi, 0),T^(R,θ,ϕ,t)\displaystyle \widehat{T}(R, \theta, \phi, t) =0,\displaystyle {} = 0,∣T^(r,0,ϕ,t)∣\displaystyle |\widehat{T}(r, 0, \phi, t)| <∞,\displaystyle {} < \infty,​∣T^(r,π,ϕ,t)∣\displaystyle |\widehat{T}(r, \pi, \phi, t)|​<∞,\displaystyle {} < \infty,T^(r,θ,ϕ,t)\displaystyle \widehat{T}(r, \theta, \phi, t) =T^(r,θ,ϕ+2π,t),\displaystyle {} = \widehat{T}(r, \theta, \phi + 2\pi, t),
(2.73)

где

f^(r,θ,ϕ,t)\displaystyle \widehat{f}(r, \theta, \phi, t) =f(r,θ,ϕ,t)\displaystyle {} = f(r, \theta, \phi, t)​−∂U(θ,ϕ,t)∂t\displaystyle {} - \frac{\displaystyle \partial U(\theta, \phi, t)}{\displaystyle \partial t}​+a2r2⋅sin⁡(θ)\displaystyle {} + \frac{\displaystyle a^2}{\displaystyle r^2 \cdot \sin(\theta)}​⋅∂∂θ(sin⁡(θ)⋅∂U(θ,ϕ,t)∂θ)\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle \partial}{\displaystyle \partial \theta} \left( \sin(\theta) \cdot \frac{\displaystyle \partial U(\theta, \phi, t)}{\displaystyle \partial \theta} \right)​+a2r2⋅sin⁡2θ\displaystyle {} + \frac{\displaystyle a^2}{\displaystyle r^2 \cdot \sin^2 \theta}​⋅∂2U(θ,ϕ,t)∂ϕ2.\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 U(\theta, \phi, t)}{\displaystyle \partial \phi^2}.

Краевые условия Неймана (1.14) в трёхмерном случае имеют вид

T(r,θ,ϕ,0)\displaystyle T(r, \theta, \phi, 0) =T0(r,θ,ϕ),\displaystyle {} = T_0(r, \theta, \phi),∂T(r,θ,ϕ,t)∂n∣r=R\displaystyle \frac{\displaystyle \partial T(r, \theta, \phi, t)}{\displaystyle \partial \mathbf{n}} \bigg|_{r=R} =Φ(θ,ϕ,t),\displaystyle {} = \Phi(\theta, \phi, t),∣T(r,0,ϕ,t)∣\displaystyle |T(r, 0, \phi, t)| <∞,\displaystyle {} < \infty,​∣T(r,π,ϕ,t)∣\displaystyle |T(r, \pi, \phi, t)|​<∞,\displaystyle {} < \infty,T(r,θ,ϕ,t)\displaystyle T(r, \theta, \phi, t) =T(r,θ,ϕ+2π,t),\displaystyle {} = T(r, \theta, \phi + 2\pi, t),
(2.74)

где ∂T(r,θ,ϕ,t)∂n∣r=R\frac{\displaystyle \partial T(r, \theta, \phi, t)}{\displaystyle \partial \mathbf{n}} \bigg|_{r=R} — нормальная производная температуры на сфере радиуса RR; направление нормали совпадает с направлением координаты rr.

Для избавления от неоднородности введём T(r,θ,ϕ,t)T(r, \theta, \phi, t)​=T^(r,θ,ϕ,t){} = \widehat{T}(r, \theta, \phi, t)​+U(r,θ,ϕ,t){} + U(r, \theta, \phi, t), выберем функцию U(r,θ,ϕ,t)U(r, \theta, \phi, t)​=Φ(θ,ϕ,t)⋅r{} = \Phi(\theta, \phi, t) \cdot r — она удовлетворяет условию (2.3): ∂U(r,θ,ϕ,t)∂n∣r=R\frac{\displaystyle \partial U(r, \theta, \phi, t)}{\displaystyle \partial \mathbf{n}} \bigg|_{r=R}​=Φ(θ,ϕ,t){} = \Phi(\theta, \phi, t). Тогда уравнение (2.71) и краевые условия (2.74) примут вид

∂T^(r,θ,ϕ,t)∂t\displaystyle \frac{\displaystyle \partial \widehat{T}(r, \theta, \phi, t)}{\displaystyle \partial t} =a2⋅∂2T^(r,θ,ϕ,t)∂r2\displaystyle {} = a^2 \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 \widehat{T}(r, \theta, \phi, t)}{\displaystyle \partial r^2}​+2⋅a2r⋅∂T^(r,θ,ϕ,t)∂r\displaystyle {} + \frac{2 \cdot a^2}{r} \cdot \frac{\displaystyle \partial \widehat{T}(r, \theta, \phi, t)}{\displaystyle \partial r}​+a2r2⋅sin⁡(θ)\displaystyle {} + \frac{a^2}{r^2 \cdot \sin(\theta)}​⋅∂∂θ(sin⁡(θ)⋅∂T^(r,θ,ϕ,t)∂θ)\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle \partial}{\displaystyle \partial \theta} \left( \sin(\theta) \cdot \frac{\displaystyle \partial \widehat{T}(r, \theta, \phi, t)}{\displaystyle \partial \theta} \right)​+a2r2⋅sin⁡2θ\displaystyle {} + \frac{a^2}{r^2 \cdot \sin^2 \theta}​⋅∂2T^(r,θ,ϕ,t)∂ϕ2\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 \widehat{T}(r, \theta, \phi, t)}{\displaystyle \partial \phi^2}​+f^(r,θ,ϕ,t),\displaystyle {} + \widehat{f}(r, \theta, \phi, t),T^(r,θ,ϕ,0)\displaystyle \widehat{T}(r, \theta, \phi, 0) =T0(r,θ,ϕ)\displaystyle {} = T_0(r, \theta, \phi)​−U(r,θ,ϕ,0),\displaystyle {} - U(r, \theta, \phi, 0),∂T^(r,θ,ϕ,t)∂n∣r=R\displaystyle \frac{\displaystyle \partial \widehat{T}(r, \theta, \phi, t)}{\displaystyle \partial \mathbf{n}} \bigg|_{r=R} =0,\displaystyle {} = 0,∣T^(r,0,ϕ,t)∣\displaystyle |\widehat{T}(r, 0, \phi, t)| <∞,\displaystyle {} < \infty,​∣T^(r,π,ϕ,t)∣\displaystyle |\widehat{T}(r, \pi, \phi, t)|​<∞,\displaystyle {} < \infty,T^(r,θ,ϕ,t)\displaystyle \widehat{T}(r, \theta, \phi, t) =T^(r,θ,ϕ+2π,t),\displaystyle {} = \widehat{T}(r, \theta, \phi + 2\pi, t),
(2.75)

где

f^(r,θ,ϕ,t)\displaystyle \widehat{f}(r, \theta, \phi, t) =f(r,θ,ϕ,t)\displaystyle {} = f(r, \theta, \phi, t)​−∂U(r,θ,ϕ,t)∂t\displaystyle {} - \frac{\displaystyle \partial U(r, \theta, \phi, t)}{\displaystyle \partial t}​+a2⋅∂2U(r,θ,ϕ,t)∂r2\displaystyle {} + a^2 \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 U(r, \theta, \phi, t)}{\displaystyle \partial r^2}​+2⋅a2r⋅∂U(r,θ,ϕ,t)∂r\displaystyle {} + \frac{\displaystyle 2 \cdot a^2}{\displaystyle r} \cdot \frac{\displaystyle \partial U(r, \theta, \phi, t)}{\displaystyle \partial r}​+a2r2⋅sin⁡(θ)\displaystyle {} + \frac{\displaystyle a^2}{\displaystyle r^2 \cdot \sin(\theta)}​⋅∂∂θ(sin⁡(θ)⋅∂U(r,θ,ϕ,t)∂θ)\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle \partial}{\displaystyle \partial \theta} \left( \sin(\theta) \cdot \frac{\displaystyle \partial U(r, \theta, \phi, t)}{\displaystyle \partial \theta} \right)​+a2r2⋅sin⁡2θ\displaystyle {} + \frac{\displaystyle a^2}{\displaystyle r^2 \cdot \sin^2 \theta}​⋅∂2U(r,θ,ϕ,t)∂ϕ2.\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 U(r, \theta, \phi, t)}{\displaystyle \partial \phi^2}.

Уравнение (2.8) примет вид

∂2Ψ(r,θ,ϕ)∂r2\displaystyle \frac{\displaystyle \partial^2 \Psi(r, \theta, \phi)}{\displaystyle \partial r^2}​+2r⋅∂Ψ(r,θ,ϕ)∂r\displaystyle {} + \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle r} \cdot \frac{\displaystyle \partial \Psi(r, \theta, \phi)}{\displaystyle \partial r}​+1r2⋅sin⁡(θ)\displaystyle {} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r^2 \cdot \sin(\theta)}​⋅∂∂θ(sin⁡(θ)⋅∂Ψ(r,θ,ϕ)∂θ)\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle \partial}{\displaystyle \partial \theta} \left( \sin(\theta) \cdot \frac{\displaystyle \partial \Psi(r, \theta, \phi)}{\displaystyle \partial \theta} \right)​+1r2⋅sin⁡2θ\displaystyle {} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r^2 \cdot \sin^2 \theta}​⋅∂2Ψ(r,θ,ϕ)∂ϕ2\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 \Psi(r, \theta, \phi)}{\displaystyle \partial \phi^2}​+γ2⋅Ψ(r,θ,ϕ)\displaystyle {} + \gamma^2 \cdot \Psi(r, \theta, \phi)​=0.\displaystyle {} = 0.
(2.76)

Представим функцию Ψ(r,θ,ϕ)\Psi(r, \theta, \phi) в виде произведения трёх функций Ψ(r,θ,ϕ)\Psi(r, \theta, \phi)​=R(r)⋅Θ(θ)⋅Υ(ϕ){} = R(r) \cdot \Theta(\theta) \cdot \Upsilon(\phi), подставим в уравнение (2.76) и проведём преобразования

∂2(R(r)⋅Θ(θ)⋅Υ(ϕ))∂r2\displaystyle \frac{\displaystyle \partial^2 (R(r) \cdot \Theta(\theta) \cdot \Upsilon(\phi))}{\displaystyle \partial r^2}​+2r\displaystyle {} + \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle r}​⋅∂(R(r)⋅Θ(θ)⋅Υ(ϕ))∂r\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle \partial (R(r) \cdot \Theta(\theta) \cdot \Upsilon(\phi))}{\displaystyle \partial r}​+1r2⋅sin⁡(θ)\displaystyle {} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r^2 \cdot \sin(\theta)}​⋅∂∂θ(sin⁡(θ)⋅∂(R(r)⋅Θ(θ)⋅Υ(ϕ))∂θ)\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle \partial}{\displaystyle \partial \theta} \left( \sin(\theta) \cdot \frac{\displaystyle \partial (R(r) \cdot \Theta(\theta) \cdot \Upsilon(\phi))}{\displaystyle \partial \theta} \right)​+1r2⋅sin⁡2θ\displaystyle {} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r^2 \cdot \sin^2 \theta}​⋅∂2(R(r)⋅Θ(θ)⋅Υ(ϕ))∂ϕ2\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 (R(r) \cdot \Theta(\theta) \cdot \Upsilon(\phi))}{\displaystyle \partial \phi^2}​+γ2⋅R(r)⋅Θ(θ)⋅Υ(ϕ)\displaystyle {} + \gamma^2 \cdot R(r) \cdot \Theta(\theta) \cdot \Upsilon(\phi)​=0,\displaystyle {} = 0,
Θ(θ)\displaystyle \Theta(\theta)​⋅Υ(ϕ)\displaystyle {} \cdot \Upsilon(\phi)​⋅[d2R(r)dr2+2r⋅dR(r)dr]\displaystyle {} \cdot \left[ \frac{\displaystyle d^2 R(r)}{\displaystyle dr^2} + \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle r} \cdot \frac{\displaystyle d R(r)}{\displaystyle dr} \right]​+R(r)r2⋅[1sin⁡(θ)⋅∂∂θ(sin⁡(θ)⋅∂(Θ(θ)⋅Υ(ϕ))∂θ)\displaystyle {} + \frac{\displaystyle R(r)}{\displaystyle r^2} \cdot \biggl[ \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sin(\theta)} \cdot \frac{\displaystyle \partial}{\displaystyle \partial \theta} \left( \sin(\theta) \cdot \frac{\displaystyle \partial (\Theta(\theta) \cdot \Upsilon(\phi))}{\displaystyle \partial \theta} \right)​+1sin⁡2(θ)⋅∂2(Θ(θ)⋅Υ(ϕ))∂ϕ2]\displaystyle {} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sin^2(\theta)} \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 (\Theta(\theta) \cdot \Upsilon(\phi))}{\displaystyle \partial \phi^2} \biggr]​+γ2⋅R(r)⋅Θ(θ)⋅Υ(ϕ)\displaystyle {} + \gamma^2 \cdot R(r) \cdot \Theta(\theta) \cdot \Upsilon(\phi)​=0,\displaystyle {} = 0,
Θ(θ)⋅Υ(ϕ)⋅[r2⋅d2R(r)dr2\displaystyle \Theta(\theta) \cdot \Upsilon(\phi) \cdot \biggl[ r^2 \cdot \frac{\displaystyle d^2 R(r)}{\displaystyle dr^2}​+2⋅r⋅dR(r)dr\displaystyle {} + 2 \cdot r \cdot \frac{\displaystyle d R(r)}{\displaystyle dr}​+r2⋅γ2⋅R(r)]\displaystyle {} + r^2 \cdot \gamma^2 \cdot R(r) \biggr]​+R(r)⋅[1sin⁡(θ)⋅∂∂θ(sin⁡(θ)⋅∂(Θ(θ)⋅Υ(ϕ))∂θ)\displaystyle {} + R(r) \cdot \biggl[ \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sin(\theta)} \cdot \frac{\displaystyle \partial}{\displaystyle \partial \theta} \left( \sin(\theta) \cdot \frac{\displaystyle \partial (\Theta(\theta) \cdot \Upsilon(\phi))}{\displaystyle \partial \theta} \right)​+1sin⁡2(θ)⋅∂2(Θ(θ)⋅Υ(ϕ))∂ϕ2]\displaystyle {} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sin^2(\theta)} \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 (\Theta(\theta) \cdot \Upsilon(\phi))}{\displaystyle \partial \phi^2} \biggr]​=0,\displaystyle {} = 0,

Выражение в первой скобке зависит только от rr, во второй — только от углов, поэтому, поделив на R(r)⋅Θ(θ)⋅Υ(ϕ)R(r) \cdot \Theta(\theta) \cdot \Upsilon(\phi), обе части можно приравнять константе γ12\gamma_1^2 — по аналогии с разделением переменных для времени и геометрии. Уравнение для радиуса примет вид

r2⋅d2R(r)dr2\displaystyle r^2 \cdot \frac{\displaystyle d^2 R(r)}{\displaystyle dr^2}​+2⋅r⋅dR(r)dr\displaystyle {} + 2 \cdot r \cdot \frac{\displaystyle d R(r)}{\displaystyle dr}​+(r2⋅γ2−γ12)⋅R(r)\displaystyle {} + \left( r^2 \cdot \gamma^2 - \gamma_1^2 \right) \cdot R(r)​=0,\displaystyle {} = 0,
(2.77)

и продолжим преобразования

1sin⁡(θ)\displaystyle \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sin(\theta)}​⋅∂∂θ(sin⁡(θ)⋅∂(Θ(θ)⋅Υ(ϕ))∂θ)\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle \partial}{\displaystyle \partial \theta} \left( \sin(\theta) \cdot \frac{\displaystyle \partial (\Theta(\theta) \cdot \Upsilon(\phi))}{\displaystyle \partial \theta} \right)​+1sin⁡2(θ)\displaystyle {} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sin^2(\theta)}​⋅∂2(Θ(θ)⋅Υ(ϕ))∂ϕ2\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 (\Theta(\theta) \cdot \Upsilon(\phi))}{\displaystyle \partial \phi^2}​+γ12⋅Θ(θ)⋅Υ(ϕ)\displaystyle {} + \gamma_1^2 \cdot \Theta(\theta) \cdot \Upsilon(\phi)​=0,\displaystyle {} = 0,
Υ(ϕ)⋅[1sin⁡(θ)⋅∂∂θ(sin⁡(θ)⋅∂Θ(θ)∂θ)\displaystyle \Upsilon(\phi) \cdot \biggl[ \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sin(\theta)} \cdot \frac{\displaystyle \partial}{\displaystyle \partial \theta} \left( \sin(\theta) \cdot \frac{\displaystyle \partial \Theta(\theta)}{\displaystyle \partial \theta} \right)​+γ12⋅Θ(θ)]\displaystyle {} + \gamma_1^2 \cdot \Theta(\theta) \biggr]​+Θ(θ)\displaystyle {} + \Theta(\theta)​⋅1sin⁡2(θ)\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sin^2(\theta)}​⋅∂2(Υ(ϕ))∂ϕ2\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 (\Upsilon(\phi))}{\displaystyle \partial \phi^2}​=0.\displaystyle {} = 0.

Здесь выражение в скобках зависит только от θ\theta, а последнее слагаемое — только от ϕ\phi, поэтому, домножив на sin⁡2(θ)Θ(θ)⋅Υ(ϕ)\frac{\displaystyle \sin^2(\theta)}{\displaystyle \Theta(\theta) \cdot \Upsilon(\phi)}, снова разделим переменные константой m2m^2 и получим уравнения для полярного и азимутального углов

1sin⁡(θ)\displaystyle \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sin(\theta)}​⋅ddθ(sin⁡(θ)⋅dΘ(θ)dθ)\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle d}{\displaystyle d\theta} \left( \sin(\theta) \cdot \frac{\displaystyle d \Theta(\theta)}{\displaystyle d\theta} \right)​+[γ12−m2sin⁡2(θ)]⋅Θ(θ)\displaystyle {} + \left[ \gamma_1^2 - \frac{\displaystyle m^2}{\displaystyle \sin^2(\theta)} \right] \cdot \Theta(\theta)​=0,\displaystyle {} = 0,
(2.78)
d2Υ(ϕ)dϕ2\displaystyle \frac{\displaystyle d^2 \Upsilon(\phi)}{\displaystyle d\phi^2}​+m2⋅Υ(ϕ)\displaystyle {} + m^2 \cdot \Upsilon(\phi)​=0.\displaystyle {} = 0.
(2.79)

Решение уравнения (2.79) мы уже находили для двумерного случая, поэтому сошлёмся на (2.54). А для решения уравнения (2.78) введём замену zz​=cos⁡(θ){} = \cos(\theta): при θ\theta​∈(0,π){} \in (0, \pi) имеем zz​∈(−1,1){} \in (-1, 1) и dzdz​=−sin⁡(θ)⋅dθ{} = - \sin(\theta) \cdot d\theta. Тогда уравнение примет вид

ddz((1−z2)⋅dΘ(z)dz)\displaystyle \frac{\displaystyle d}{\displaystyle dz} \left( (1 - z^2) \cdot \frac{\displaystyle d \Theta(z)}{\displaystyle dz} \right)​+[γ12−m21−z2]⋅Θ(z)\displaystyle {} + \left[ \gamma_1^2 - \frac{\displaystyle m^2}{\displaystyle 1 - z^2} \right] \cdot \Theta(z)​=0,\displaystyle {} = 0,​−1\displaystyle {} -1​<z\displaystyle {} < z​<1.\displaystyle {} < 1.
(2.80)

Это уравнение разобрано в приложении «Уравнение Лежандра», его решение имеет вид (E.6)

Θkm(z)\displaystyle \Theta_{km}(z) =Pk(m)(z)\displaystyle {} = P_k^{(m)}(z)​=(1−z2)m2⋅dmdzmPk(z),\displaystyle {} = (1 - z^2)^{\frac{\displaystyle m}{\displaystyle 2}} \cdot \frac{\displaystyle d^m}{\displaystyle dz^m} P_k(z),

где γ1k2\gamma_{1k}^2​=k⋅(k+1){} = k \cdot (k + 1) — собственные значения, Pk(m)(z)P_k^{(m)}(z) — присоединённые полиномы Лежандра, причём нетривиальные решения существуют только при mm​≤k{} \leq k. Норма присоединённого полинома Лежандра имеет вид (F.6). Теперь вернёмся к углу θ\theta, сделав обратную подстановку

Θkm(θ)\displaystyle \Theta_{km}(\theta) =sin⁡m(θ)\displaystyle {} = \sin^m(\theta)​⋅dmd(cos⁡(θ))mPk(cos⁡(θ)).\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle d^m}{\displaystyle d(\cos(\theta))^m} P_k(\cos(\theta)).
(2.81)

Вообще говоря, это решение определено с точностью до постоянного множителя — положим его равным единице: он всё равно вбирается в коэффициенты разложения. Теперь вернёмся к уравнению (2.77) и перепишем его с учётом γ12\gamma_1^2​=k⋅(k+1){} = k \cdot (k + 1)

r2⋅d2R(r)dr2\displaystyle r^2 \cdot \frac{\displaystyle d^2 R(r)}{\displaystyle dr^2}​+2⋅r⋅dR(r)dr\displaystyle {} + 2 \cdot r \cdot \frac{\displaystyle d R(r)}{\displaystyle dr}​+(r2⋅γ2−k⋅(k+1))⋅R(r)\displaystyle {} + \left( r^2 \cdot \gamma^2 - k \cdot (k + 1) \right) \cdot R(r)​=0.\displaystyle {} = 0.

Это уравнение разобрано в приложении «Уравнение Бесселя в сферических координатах»: подстановка R(r)R(r)​=R^(r)r{} = \frac{\displaystyle \widehat{R}(r)}{\displaystyle \sqrt{r}} сводит его к уравнению Бесселя с полуцелым индексом, и решение имеет вид (G.2). Следует заметить, что решение ограничено в точке rr​=0{} = 0: функция Бесселя Jk+1/2(γ⋅r)J_{k + 1/2}(\gamma \cdot r) стремится к нулю не медленнее, чем r\sqrt{r}.

Таким образом, решения уравнения (2.76) имеют вид

Ψ1km(r,θ,ϕ)\displaystyle \Psi_{1km}(r, \theta, \phi) =Akm\displaystyle {} = A_{km}​⋅1r\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{r}}​⋅Jk+1/2(γ⋅r)\displaystyle {} \cdot J_{k + 1/2}(\gamma \cdot r)​⋅Pk(m)(cos⁡(θ))\displaystyle {} \cdot P_k^{(m)}(\cos(\theta))​⋅sin⁡(m⋅ϕ),\displaystyle {} \cdot \sin(m \cdot \phi),1\displaystyle 1 ≤m\displaystyle {} \leq m​≤k,\displaystyle {} \leq k,​k\displaystyle k​≥1,\displaystyle {} \geq 1,Ψ2km(r,θ,ϕ)\displaystyle \Psi_{2km}(r, \theta, \phi) =Akm\displaystyle {} = A_{km}​⋅1r\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{r}}​⋅Jk+1/2(γ⋅r)\displaystyle {} \cdot J_{k + 1/2}(\gamma \cdot r)​⋅Pk(m)(cos⁡(θ))\displaystyle {} \cdot P_k^{(m)}(\cos(\theta))​⋅cos⁡(m⋅ϕ),\displaystyle {} \cdot \cos(m \cdot \phi),0\displaystyle 0 ≤m\displaystyle {} \leq m​≤k,\displaystyle {} \leq k,​k\displaystyle k​≥0,\displaystyle {} \geq 0,
(2.82)

Подставим решения (2.82) в граничные условия (2.73) и получим

Akm\displaystyle A_{km}​⋅1R\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{R}}​⋅Jk+1/2(γ⋅R)\displaystyle {} \cdot J_{k + 1/2}(\gamma \cdot R)​⋅Pk(m)(cos⁡(θ))\displaystyle {} \cdot P_k^{(m)}(\cos(\theta))​⋅sin⁡(m⋅ϕ)\displaystyle {} \cdot \sin(m \cdot \phi)​=0,\displaystyle {} = 0,​1\displaystyle 1​≤m\displaystyle {} \leq m​≤k,\displaystyle {} \leq k,​k\displaystyle k​≥1,\displaystyle {} \geq 1,Akm\displaystyle A_{km}​⋅1R\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{R}}​⋅Jk+1/2(γ⋅R)\displaystyle {} \cdot J_{k + 1/2}(\gamma \cdot R)​⋅Pk(m)(cos⁡(θ))\displaystyle {} \cdot P_k^{(m)}(\cos(\theta))​⋅cos⁡(m⋅ϕ)\displaystyle {} \cdot \cos(m \cdot \phi)​=0,\displaystyle {} = 0,​0\displaystyle 0​≤m\displaystyle {} \leq m​≤k,\displaystyle {} \leq k,​k\displaystyle k​≥0.\displaystyle {} \geq 0.

Понятно, что решение имеет смысл только тогда, когда AkmA_{km}​≠0{} \neq 0, что возможно только тогда, когда Jk+1/2(γ⋅R)J_{k + 1/2}(\gamma \cdot R)​=0{} = 0. Обозначим корни уравнения Jk+1/2(μ)J_{k + 1/2}(\mu)​=0{} = 0 через μks\mu_{ks} — тогда собственные значения примут вид

Jk+1/2(γ⋅R)\displaystyle J_{k + 1/2}(\gamma \cdot R) =0  \displaystyle {} = 0 \;​⇒  γks\displaystyle {} \Rightarrow\; \gamma_{ks}​=μksR,\displaystyle {} = \frac{\displaystyle \mu_{ks}}{\displaystyle R},​s\displaystyle s​∈(1..∞).\displaystyle {} \in (1..\infty).
(2.83)

Нулевой и отрицательные корни не годятся: при μ\mu​=0{} = 0 собственная функция Jk+1/2(0⋅r)J_{k + 1/2}(0 \cdot r)​≡0{} \equiv 0 — тождественный нуль, не являющийся собственной функцией (индекс kk​+1/2{} + 1/2​>0{} > 0), а отрицательные корни новых решений не дают. Поэтому берём только положительные корни: μks,s\mu_{ks}, s​∈(1..∞){} \in (1..\infty).

Таким образом, собственные значения и собственные функции имеют вид

γks\displaystyle \gamma_{ks} =μksR,\displaystyle {} = \frac{\displaystyle \mu_{ks}}{\displaystyle R},​s\displaystyle s​∈(1..∞),\displaystyle {} \in (1..\infty),Ψ1kms(r,θ,ϕ)\displaystyle \Psi_{1kms}(r, \theta, \phi) =Akms\displaystyle {} = A_{kms}​⋅1r\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{r}}​⋅Jk+1/2(γks⋅r)\displaystyle {} \cdot J_{k + 1/2}(\gamma_{ks} \cdot r)​⋅Pk(m)(cos⁡(θ))\displaystyle {} \cdot P_k^{(m)}(\cos(\theta))​⋅sin⁡(m⋅ϕ),\displaystyle {} \cdot \sin(m \cdot \phi),1\displaystyle 1 ≤m\displaystyle {} \leq m​≤k,\displaystyle {} \leq k,​k\displaystyle k​≥1,\displaystyle {} \geq 1,Ψ2kms(r,θ,ϕ)\displaystyle \Psi_{2kms}(r, \theta, \phi) =Akms\displaystyle {} = A_{kms}​⋅1r\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{r}}​⋅Jk+1/2(γks⋅r)\displaystyle {} \cdot J_{k + 1/2}(\gamma_{ks} \cdot r)​⋅Pk(m)(cos⁡(θ))\displaystyle {} \cdot P_k^{(m)}(\cos(\theta))​⋅cos⁡(m⋅ϕ),\displaystyle {} \cdot \cos(m \cdot \phi),0\displaystyle 0 ≤m\displaystyle {} \leq m​≤k,\displaystyle {} \leq k,​k\displaystyle k​≥0,\displaystyle {} \geq 0,
(2.84)

где AkmsA_{kms} — произвольный постоянный множитель: собственная функция определена с точностью до него. Положим AkmsA_{kms}​=1{} = 1 — этот множитель всё равно вбирается в коэффициенты разложения, как и в общем решении.

Для разложения функций в ряд Фурье по Ψ1kms(r,θ,ϕ)\Psi_{1kms}(r, \theta, \phi) и Ψ2kms(r,θ,ϕ)\Psi_{2kms}(r, \theta, \phi) необходимо вычислить нормы ∥Ψ1kms(r,θ,ϕ)∥2\|\Psi_{1kms}(r, \theta, \phi)\|^2 и ∥Ψ2kms(r,θ,ϕ)∥2\|\Psi_{2kms}(r, \theta, \phi)\|^2, вес для сферических координат ρ(r,θ,ϕ)\rho(r, \theta, \phi)​=r2⋅sin⁡(θ){} = r^2 \cdot \sin(\theta).

∥Ψ1kms∥2\displaystyle \|\Psi_{1kms}\|^2 =∫0Rr\displaystyle {} = \int_0^R r​⋅Jk+1/22(γks⋅r) dr∫0π[Pk(m)(cos⁡θ)]2sin⁡(θ) dθ\displaystyle {} \cdot J_{k + 1/2}^2(\gamma_{ks} \cdot r) \,dr \int_0^{\pi} \left[P_k^{(m)}(\cos\theta)\right]^2 \sin(\theta) \,d\theta​⋅∫02πsin⁡2(mϕ) dϕ,\displaystyle {} \cdot \int_0^{2\pi} \sin^2(m\phi) \,d\phi,​1\displaystyle 1​≤m\displaystyle {} \leq m​≤k,\displaystyle {} \leq k,​k\displaystyle k​≥1,\displaystyle {} \geq 1,​s\displaystyle s​≥1,\displaystyle {} \geq 1,
∥Ψ2kms∥2\displaystyle \|\Psi_{2kms}\|^2 =∫0Rr\displaystyle {} = \int_0^R r​⋅Jk+1/22(γks⋅r) dr∫0π[Pk(m)(cos⁡θ)]2sin⁡(θ) dθ\displaystyle {} \cdot J_{k + 1/2}^2(\gamma_{ks} \cdot r) \,dr \int_0^{\pi} \left[P_k^{(m)}(\cos\theta)\right]^2 \sin(\theta) \,d\theta​⋅∫02πcos⁡2(mϕ) dϕ,\displaystyle {} \cdot \int_0^{2\pi} \cos^2(m\phi) \,d\phi,​0\displaystyle 0​≤m\displaystyle {} \leq m​≤k,\displaystyle {} \leq k,​k\displaystyle k​≥0,\displaystyle {} \geq 0,​s\displaystyle s​≥1.\displaystyle {} \geq 1.

Интеграл по азимутальному углу ϕ\phi вычислен в (2.59), интеграл по радиусу — тот же, что и в задаче Дирихле для круга: после замены xx​=γks⋅r{} = \gamma_{ks} \cdot r он берётся по формуле (C.6), а интеграл по углу θ\theta после замены zz​=cos⁡(θ){} = \cos(\theta) — это в точности норма присоединённого полинома Лежандра (F.6). Соберём всё вместе

∥Ψ1kms(r,θ,ϕ)∥2\displaystyle \|\Psi_{1kms}(r, \theta, \phi)\|^2 =π⋅R22⋅k+1\displaystyle {} = \frac{\displaystyle \pi \cdot R^2}{\displaystyle 2 \cdot k + 1}​⋅(k+m)!(k−m)!\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle (k+m)!}{\displaystyle (k-m)!}​⋅Jk+3/22(μks),\displaystyle {} \cdot J_{k + 3/2}^2(\mu_{ks}),∥Ψ2kms(r,θ,ϕ)∥2\displaystyle \|\Psi_{2kms}(r, \theta, \phi)\|^2 ={2⋅π⋅R22⋅k+1⋅(k+m)!(k−m)!⋅Jk+3/22(μks),m=0,π⋅R22⋅k+1⋅(k+m)!(k−m)!⋅Jk+3/22(μks),m≥1.\displaystyle {} = \begin{cases} \frac{\displaystyle 2 \cdot \pi \cdot R^2}{\displaystyle 2 \cdot k + 1} \cdot \frac{\displaystyle (k+m)!}{\displaystyle (k-m)!} \cdot J_{k + 3/2}^2(\mu_{ks}), & m = 0, \\ \frac{\displaystyle \pi \cdot R^2}{\displaystyle 2 \cdot k + 1} \cdot \frac{\displaystyle (k+m)!}{\displaystyle (k-m)!} \cdot J_{k + 3/2}^2(\mu_{ks}), & m \geq 1 \end{cases}.
(2.85)

Теперь подставим решение (2.82) в граничные условия (2.75); поскольку направление нормали совпадает с направлением координаты rr, получим

Akm⋅[−12⋅R⋅R⋅Jk+1/2(γ⋅R)\displaystyle A_{km} \cdot \biggl[ - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2 \cdot R \cdot \sqrt{R}} \cdot J_{k + 1/2}(\gamma \cdot R)​+γR⋅Jk+1/2′(γ⋅R)]⋅Pk(m)(cos⁡(θ))⋅sin⁡(m⋅ϕ)\displaystyle {} + \frac{\displaystyle \gamma}{\displaystyle \sqrt{R}} \cdot J_{k + 1/2}'(\gamma \cdot R) \biggr] \cdot P_k^{(m)}(\cos(\theta)) \cdot \sin(m \cdot \phi)​=0,\displaystyle {} = 0,1\displaystyle 1 ≤m\displaystyle {} \leq m​≤k,\displaystyle {} \leq k,​k\displaystyle k​≥1,\displaystyle {} \geq 1,Akm⋅[−12⋅R⋅R⋅Jk+1/2(γ⋅R)\displaystyle A_{km} \cdot \biggl[ - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2 \cdot R \cdot \sqrt{R}} \cdot J_{k + 1/2}(\gamma \cdot R)​+γR⋅Jk+1/2′(γ⋅R)]⋅Pk(m)(cos⁡(θ))⋅cos⁡(m⋅ϕ)\displaystyle {} + \frac{\displaystyle \gamma}{\displaystyle \sqrt{R}} \cdot J_{k + 1/2}'(\gamma \cdot R) \biggr] \cdot P_k^{(m)}(\cos(\theta)) \cdot \cos(m \cdot \phi)​=0,\displaystyle {} = 0,0\displaystyle 0 ≤m\displaystyle {} \leq m​≤k,\displaystyle {} \leq k,​k\displaystyle k​≥0,\displaystyle {} \geq 0,

Понятно, что решение имеет смысл только тогда, когда AkmA_{km}​≠0{} \neq 0, что возможно только тогда, когда γ⋅Jk+1/2′(γ⋅R)\gamma \cdot J_{k + 1/2}'(\gamma \cdot R)​=12⋅R⋅Jk+1/2(γ⋅R){} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2 \cdot R} \cdot J_{k + 1/2}(\gamma \cdot R). Обозначим корни уравнения Jk+1/2′(μ)J_{k + 1/2}'(\mu)​=12⋅μ⋅Jk+1/2(μ){} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2 \cdot \mu} \cdot J_{k + 1/2}(\mu) через μks\mu_{ks} — тогда собственные значения примут вид

Jk+1/2′(μks)\displaystyle J_{k + 1/2}'(\mu_{ks}) =12⋅μks⋅Jk+1/2(μks)  \displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2 \cdot \mu_{ks}} \cdot J_{k + 1/2}(\mu_{ks}) \;​⇒  γks\displaystyle {} \Rightarrow\; \gamma_{ks}​=μksR,\displaystyle {} = \frac{\displaystyle \mu_{ks}}{\displaystyle R},​s\displaystyle s​∈(1..∞).\displaystyle {} \in (1..\infty).
(2.86)

Здесь, в отличие от задачи Дирихле, нулевая мода сохраняется: при kk​=0{} = 0 радиальное решение — сферическая функция Бесселя j0(γ⋅r)j_0(\gamma \cdot r)​=sin⁡(γ⋅r)γ⋅r{} = \frac{\displaystyle \sin(\gamma \cdot r)}{\displaystyle \gamma \cdot r}, и нуль является корнем условия Неймана (j0′(0)j_0'(0)​=0{} = 0); ему отвечают γ\gamma​=0{} = 0 и собственная функция Ψ(r,θ,ϕ)\Psi(r, \theta, \phi)​=1{} = 1 — ненулевая постоянная, то есть полноценная собственная функция (постоянная мода). Будем считать её первым корнем: μ01\mu_{01}​=0{} = 0. Для kk​≥1{} \geq 1 нулевой корень собственной функции не даёт (jk(0)j_k(0)​=0{} = 0), поэтому там по-прежнему берутся только положительные корни.

Таким образом, собственные значения и собственные функции имеют вид

γks\displaystyle \gamma_{ks} =μksR,\displaystyle {} = \frac{\displaystyle \mu_{ks}}{\displaystyle R},​s\displaystyle s​∈(1..∞),\displaystyle {} \in (1..\infty),​μ01\displaystyle \mu_{01}​=0,\displaystyle {} = 0,Ψ1kms(r,θ,ϕ)\displaystyle \Psi_{1kms}(r, \theta, \phi) =Akms\displaystyle {} = A_{kms}​⋅1r\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{r}}​⋅Jk+1/2(γks⋅r)\displaystyle {} \cdot J_{k + 1/2}(\gamma_{ks} \cdot r)​⋅Pk(m)(cos⁡(θ))\displaystyle {} \cdot P_k^{(m)}(\cos(\theta))​⋅sin⁡(m⋅ϕ),\displaystyle {} \cdot \sin(m \cdot \phi),1\displaystyle 1 ≤m\displaystyle {} \leq m​≤k,\displaystyle {} \leq k,​k\displaystyle k​≥1,\displaystyle {} \geq 1,Ψ2kms(r,θ,ϕ)\displaystyle \Psi_{2kms}(r, \theta, \phi) =Akms\displaystyle {} = A_{kms}​⋅1r\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{r}}​⋅Jk+1/2(γks⋅r)\displaystyle {} \cdot J_{k + 1/2}(\gamma_{ks} \cdot r)​⋅Pk(m)(cos⁡(θ))\displaystyle {} \cdot P_k^{(m)}(\cos(\theta))​⋅cos⁡(m⋅ϕ),\displaystyle {} \cdot \cos(m \cdot \phi),0\displaystyle 0 ≤m\displaystyle {} \leq m​≤k,\displaystyle {} \leq k,​k\displaystyle k​≥0,\displaystyle {} \geq 0,
(2.87)

где AkmsA_{kms} — произвольный постоянный множитель; положим его, как и прежде, равным единице.

Нормы собственных функций вычислим так же, как в задаче Дирихле: интегралы по углам остаются теми же, а вот интеграл по радиусу принимает другое значение — воспользуемся формулой (H.2) для вычисления нормы

∫0Rr⋅Jk+1/22(γks⋅r) dr\displaystyle \int_0^{R} r \cdot J_{k + 1/2}^2(\gamma_{ks} \cdot r) \,dr =R22\displaystyle {} = \frac{\displaystyle R^2}{\displaystyle 2}​⋅[1−k⋅(k+1)μks2]\displaystyle {} \cdot \left[ 1 - \frac{\displaystyle k \cdot (k+1)}{\displaystyle \mu_{ks}^2} \right]​⋅Jk+1/22(μks).\displaystyle {} \cdot J_{k + 1/2}^2(\mu_{ks}).

Особый случай μ01\mu_{01}​=0{} = 0 (при γ01\gamma_{01}​=0{} = 0 собственная функция Ψ2001(r,θ,ϕ)\Psi_{2001}(r, \theta, \phi)​=1{} = 1) вычислим отдельно

∥Ψ2001(r,θ,ϕ)∥2\displaystyle \|\Psi_{2001}(r, \theta, \phi)\|^2 =∫0R∫0π∫02π1\displaystyle {} = \int_0^R \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} 1​⋅r2\displaystyle {} \cdot r^2​⋅sin⁡(θ) dr dθ dϕ\displaystyle {} \cdot \sin(\theta) \,dr \,d\theta \,d\phi​=4⋅π⋅R33.\displaystyle {} = \frac{\displaystyle 4 \cdot \pi \cdot R^3}{\displaystyle 3}.
(2.88)

Нормы для ∥Ψ1kms(r,θ,ϕ)∥2\|\Psi_{1kms}(r, \theta, \phi)\|^2 и ∥Ψ2kms(r,θ,ϕ)∥2\|\Psi_{2kms}(r, \theta, \phi)\|^2 имеют вид

∥Ψ1kms(r,θ,ϕ)∥2\displaystyle \|\Psi_{1kms}(r, \theta, \phi)\|^2 =π⋅R22⋅k+1\displaystyle {} = \frac{\displaystyle \pi \cdot R^2}{\displaystyle 2 \cdot k + 1}​⋅(k+m)!(k−m)!\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle (k+m)!}{\displaystyle (k-m)!}​⋅[1−k⋅(k+1)μks2]\displaystyle {} \cdot \left[ 1 - \frac{\displaystyle k \cdot (k+1)}{\displaystyle \mu_{ks}^2} \right]​⋅Jk+1/22(μks),\displaystyle {} \cdot J_{k + 1/2}^2(\mu_{ks}),∥Ψ2kms(r,θ,ϕ)∥2\displaystyle \|\Psi_{2kms}(r, \theta, \phi)\|^2 =2⋅π⋅R22⋅k+1\displaystyle {} = \frac{\displaystyle 2 \cdot \pi \cdot R^2}{\displaystyle 2 \cdot k + 1}​⋅(k+m)!(k−m)!\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle (k+m)!}{\displaystyle (k-m)!}​⋅[1−k⋅(k+1)μks2]\displaystyle {} \cdot \left[ 1 - \frac{\displaystyle k \cdot (k+1)}{\displaystyle \mu_{ks}^2} \right]​⋅Jk+1/22(μks),\displaystyle {} \cdot J_{k + 1/2}^2(\mu_{ks}),​m\displaystyle m​=0,\displaystyle {} = 0,∥Ψ2kms(r,θ,ϕ)∥2\displaystyle \|\Psi_{2kms}(r, \theta, \phi)\|^2 =π⋅R22⋅k+1\displaystyle {} = \frac{\displaystyle \pi \cdot R^2}{\displaystyle 2 \cdot k + 1}​⋅(k+m)!(k−m)!\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle (k+m)!}{\displaystyle (k-m)!}​⋅[1−k⋅(k+1)μks2]\displaystyle {} \cdot \left[ 1 - \frac{\displaystyle k \cdot (k+1)}{\displaystyle \mu_{ks}^2} \right]​⋅Jk+1/22(μks),\displaystyle {} \cdot J_{k + 1/2}^2(\mu_{ks}),​m\displaystyle m​≥1.\displaystyle {} \geq 1.
(2.89)

Финальное решение трёхмерной краевой задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями примет вид

U(θ,ϕ,t)\displaystyle U(\theta, \phi, t) =Φ(θ,ϕ,t),\displaystyle {} = \Phi(\theta, \phi, t),T^(r,θ,ϕ,0)\displaystyle \widehat{T}(r, \theta, \phi, 0) =T0(r,θ,ϕ)\displaystyle {} = T_0(r, \theta, \phi)​−U(θ,ϕ,0),\displaystyle {} - U(\theta, \phi, 0),f^(r,θ,ϕ,t)\displaystyle \widehat{f}(r, \theta, \phi, t) =f(r,θ,ϕ,t)\displaystyle {} = f(r, \theta, \phi, t)​−∂Φ(θ,ϕ,t)∂t\displaystyle {} - \frac{\displaystyle \partial \Phi(\theta, \phi, t)}{\displaystyle \partial t}​+a2r2⋅sin⁡(θ)\displaystyle {} + \frac{\displaystyle a^2}{\displaystyle r^2 \cdot \sin(\theta)}​⋅∂∂θ(sin⁡(θ)⋅∂Φ(θ,ϕ,t)∂θ)\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle \partial}{\displaystyle \partial \theta} \left( \sin(\theta) \cdot \frac{\displaystyle \partial \Phi(\theta, \phi, t)}{\displaystyle \partial \theta} \right)​+a2r2⋅sin⁡2(θ)\displaystyle {} + \frac{\displaystyle a^2}{\displaystyle r^2 \cdot \sin^2(\theta)}​⋅∂2Φ(θ,ϕ,t)∂ϕ2,\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 \Phi(\theta, \phi, t)}{\displaystyle \partial \phi^2},γks\displaystyle \gamma_{ks} =μksR,\displaystyle {} = \frac{\displaystyle \mu_{ks}}{\displaystyle R},​Jk+1/2(μks)\displaystyle J_{k + 1/2}(\mu_{ks})​=0,\displaystyle {} = 0,​k\displaystyle k​∈(0..∞),\displaystyle {} \in (0..\infty),​s\displaystyle s​∈(1..∞),\displaystyle {} \in (1..\infty),Ψ1kms(r,θ,ϕ)\displaystyle \Psi_{1kms}(r, \theta, \phi) =1r\displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{r}}​⋅Jk+1/2(γks⋅r)\displaystyle {} \cdot J_{k + 1/2}(\gamma_{ks} \cdot r)​⋅Pk(m)(cos⁡(θ))\displaystyle {} \cdot P_k^{(m)}(\cos(\theta))​⋅sin⁡(m⋅ϕ),\displaystyle {} \cdot \sin(m \cdot \phi),​1\displaystyle 1​≤m\displaystyle {} \leq m​≤k,\displaystyle {} \leq k,Ψ2kms(r,θ,ϕ)\displaystyle \Psi_{2kms}(r, \theta, \phi) =1r\displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{r}}​⋅Jk+1/2(γks⋅r)\displaystyle {} \cdot J_{k + 1/2}(\gamma_{ks} \cdot r)​⋅Pk(m)(cos⁡(θ))\displaystyle {} \cdot P_k^{(m)}(\cos(\theta))​⋅cos⁡(m⋅ϕ),\displaystyle {} \cdot \cos(m \cdot \phi),​0\displaystyle 0​≤m\displaystyle {} \leq m​≤k,\displaystyle {} \leq k,∥Ψ1kms(r,θ,ϕ)∥2\displaystyle \|\Psi_{1kms}(r, \theta, \phi)\|^2 =π⋅R22⋅k+1\displaystyle {} = \frac{\displaystyle \pi \cdot R^2}{\displaystyle 2 \cdot k + 1}​⋅(k+m)!(k−m)!\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle (k+m)!}{\displaystyle (k-m)!}​⋅Jk+3/22(μks),\displaystyle {} \cdot J_{k + 3/2}^2(\mu_{ks}),∥Ψ2kms(r,θ,ϕ)∥2\displaystyle \|\Psi_{2kms}(r, \theta, \phi)\|^2 =2⋅π⋅R22⋅k+1\displaystyle {} = \frac{\displaystyle 2 \cdot \pi \cdot R^2}{\displaystyle 2 \cdot k + 1}​⋅(k+m)!(k−m)!\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle (k+m)!}{\displaystyle (k-m)!}​⋅Jk+3/22(μks),\displaystyle {} \cdot J_{k + 3/2}^2(\mu_{ks}),​m\displaystyle m​=0,\displaystyle {} = 0,∥Ψ2kms(r,θ,ϕ)∥2\displaystyle \|\Psi_{2kms}(r, \theta, \phi)\|^2 =π⋅R22⋅k+1\displaystyle {} = \frac{\displaystyle \pi \cdot R^2}{\displaystyle 2 \cdot k + 1}​⋅(k+m)!(k−m)!\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle (k+m)!}{\displaystyle (k-m)!}​⋅Jk+3/22(μks),\displaystyle {} \cdot J_{k + 3/2}^2(\mu_{ks}),​m\displaystyle m​≥1,\displaystyle {} \geq 1,T01kms\displaystyle T_{01kms} =∫0R∫0π∫02πT^(r,θ,ϕ,0)\displaystyle {} = \int_0^R \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \widehat{T}(r, \theta, \phi, 0)​⋅Ψ1kms(r,θ,ϕ)\displaystyle {} \cdot \Psi_{1kms}(r, \theta, \phi)​⋅r2\displaystyle {} \cdot r^2​⋅sin⁡(θ) dr dθ dϕ,\displaystyle {} \cdot \sin(\theta) \,dr \,d\theta \,d\phi,T02kms\displaystyle T_{02kms} =∫0R∫0π∫02πT^(r,θ,ϕ,0)\displaystyle {} = \int_0^R \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \widehat{T}(r, \theta, \phi, 0)​⋅Ψ2kms(r,θ,ϕ)\displaystyle {} \cdot \Psi_{2kms}(r, \theta, \phi)​⋅r2\displaystyle {} \cdot r^2​⋅sin⁡(θ) dr dθ dϕ,\displaystyle {} \cdot \sin(\theta) \,dr \,d\theta \,d\phi,f1kms(t)\displaystyle f_{1kms}(t) =∫0R∫0π∫02πf^(r,θ,ϕ,t)\displaystyle {} = \int_0^R \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \widehat{f}(r, \theta, \phi, t)​⋅Ψ1kms(r,θ,ϕ)\displaystyle {} \cdot \Psi_{1kms}(r, \theta, \phi)​⋅r2\displaystyle {} \cdot r^2​⋅sin⁡(θ) dr dθ dϕ,\displaystyle {} \cdot \sin(\theta) \,dr \,d\theta \,d\phi,f2kms(t)\displaystyle f_{2kms}(t) =∫0R∫0π∫02πf^(r,θ,ϕ,t)\displaystyle {} = \int_0^R \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \widehat{f}(r, \theta, \phi, t)​⋅Ψ2kms(r,θ,ϕ)\displaystyle {} \cdot \Psi_{2kms}(r, \theta, \phi)​⋅r2\displaystyle {} \cdot r^2​⋅sin⁡(θ) dr dθ dϕ,\displaystyle {} \cdot \sin(\theta) \,dr \,d\theta \,d\phi,T^(r,θ,ϕ,t)\displaystyle \widehat{T}(r, \theta, \phi, t) =∑k=1∞∑m=1k∑s=1∞Ψ1kms(r,θ,ϕ)∥Ψ1kms(r,θ,ϕ)∥2⋅e−a2⋅γks2⋅t⋅[T01kms\displaystyle {} = \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{k} \sum_{s=1}^{\infty} \frac{\displaystyle \Psi_{1kms}(r, \theta, \phi)}{\displaystyle \|\Psi_{1kms}(r, \theta, \phi)\|^2} \cdot e^{- a^2 \cdot \gamma_{ks}^2 \cdot t} \cdot \Biggl[ T_{01kms}​+∫0tea2⋅γks2⋅τ⋅f1kms(τ) dτ]\displaystyle {} + \int_0^t e^{a^2 \cdot \gamma_{ks}^2 \cdot \tau} \cdot f_{1kms}(\tau) \,d\tau \Biggr]​+∑k=0∞∑m=0k∑s=1∞Ψ2kms(r,θ,ϕ)∥Ψ2kms(r,θ,ϕ)∥2⋅e−a2⋅γks2⋅t⋅[T02kms\displaystyle {} + \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{k} \sum_{s=1}^{\infty} \frac{\displaystyle \Psi_{2kms}(r, \theta, \phi)}{\displaystyle \|\Psi_{2kms}(r, \theta, \phi)\|^2} \cdot e^{- a^2 \cdot \gamma_{ks}^2 \cdot t} \cdot \Biggl[ T_{02kms}​+∫0tea2⋅γks2⋅τ⋅f2kms(τ) dτ],\displaystyle {} + \int_0^t e^{a^2 \cdot \gamma_{ks}^2 \cdot \tau} \cdot f_{2kms}(\tau) \,d\tau \Biggr] ,T(r,θ,ϕ,t)\displaystyle T(r, \theta, \phi, t) =U(θ,ϕ,t)\displaystyle {} = U(\theta, \phi, t)​+T^(r,θ,ϕ,t).\displaystyle {} + \widehat{T}(r, \theta, \phi, t).
(2.90)

В задаче Неймана, в отличие от Дирихле, спектр содержит нулевую моду (γ01\gamma_{01}​=0{} = 0, Ψ2001(r,θ,ϕ)\Psi_{2001}(r, \theta, \phi)​=1{} = 1) — случай γ\gamma​=0{} = 0, который в общем решении (2.18) был оставлен для отдельного рассмотрения; именно она даёт незатухающее слагаемое — член с kk​=0,m{} = 0, m​=0,s{} = 0, s​=1{} = 1 во второй сумме. Финальное решение трёхмерной краевой задачи Неймана с неоднородными граничными условиями примет вид

U(r,θ,ϕ,t)\displaystyle U(r, \theta, \phi, t) =Φ(θ,ϕ,t)⋅r,\displaystyle {} = \Phi(\theta, \phi, t) \cdot r,T^(r,θ,ϕ,0)\displaystyle \widehat{T}(r, \theta, \phi, 0) =T0(r,θ,ϕ)\displaystyle {} = T_0(r, \theta, \phi)​−U(r,θ,ϕ,0),\displaystyle {} - U(r, \theta, \phi, 0),f^(r,θ,ϕ,t)\displaystyle \widehat{f}(r, \theta, \phi, t) =f(r,θ,ϕ,t)\displaystyle {} = f(r, \theta, \phi, t)​−r⋅∂Φ(θ,ϕ,t)∂t\displaystyle {} - r \cdot \frac{\displaystyle \partial \Phi(\theta, \phi, t)}{\displaystyle \partial t}​+2⋅a2⋅Φ(θ,ϕ,t)r\displaystyle {} + \frac{\displaystyle 2 \cdot a^2 \cdot \Phi(\theta, \phi, t)}{\displaystyle r}​+a2r⋅sin⁡(θ)\displaystyle {} + \frac{\displaystyle a^2}{\displaystyle r \cdot \sin(\theta)}​⋅∂∂θ(sin⁡(θ)⋅∂Φ(θ,ϕ,t)∂θ)\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle \partial}{\displaystyle \partial \theta} \left( \sin(\theta) \cdot \frac{\displaystyle \partial \Phi(\theta, \phi, t)}{\displaystyle \partial \theta} \right)​+a2r⋅sin⁡2(θ)\displaystyle {} + \frac{\displaystyle a^2}{\displaystyle r \cdot \sin^2(\theta)}​⋅∂2Φ(θ,ϕ,t)∂ϕ2,\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 \Phi(\theta, \phi, t)}{\displaystyle \partial \phi^2},γks\displaystyle \gamma_{ks} =μksR,\displaystyle {} = \frac{\displaystyle \mu_{ks}}{\displaystyle R},​Jk+1/2′(μks)\displaystyle J_{k + 1/2}'(\mu_{ks})​=12⋅μks⋅Jk+1/2(μks),\displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2 \cdot \mu_{ks}} \cdot J_{k + 1/2}(\mu_{ks}),​μ01\displaystyle \mu_{01}​=0,\displaystyle {} = 0,k\displaystyle k ∈(0..∞),\displaystyle {} \in (0..\infty),​s\displaystyle s​∈(1..∞),\displaystyle {} \in (1..\infty),Ψ1kms(r,θ,ϕ)\displaystyle \Psi_{1kms}(r, \theta, \phi) =1r\displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{r}}​⋅Jk+1/2(γks⋅r)\displaystyle {} \cdot J_{k + 1/2}(\gamma_{ks} \cdot r)​⋅Pk(m)(cos⁡(θ))\displaystyle {} \cdot P_k^{(m)}(\cos(\theta))​⋅sin⁡(m⋅ϕ),\displaystyle {} \cdot \sin(m \cdot \phi),​1\displaystyle 1​≤m\displaystyle {} \leq m​≤k,\displaystyle {} \leq k,Ψ2kms(r,θ,ϕ)\displaystyle \Psi_{2kms}(r, \theta, \phi) =1r\displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{r}}​⋅Jk+1/2(γks⋅r)\displaystyle {} \cdot J_{k + 1/2}(\gamma_{ks} \cdot r)​⋅Pk(m)(cos⁡(θ))\displaystyle {} \cdot P_k^{(m)}(\cos(\theta))​⋅cos⁡(m⋅ϕ),\displaystyle {} \cdot \cos(m \cdot \phi),​0\displaystyle 0​≤m\displaystyle {} \leq m​≤k,\displaystyle {} \leq k,∥Ψ1kms(r,θ,ϕ)∥2\displaystyle \|\Psi_{1kms}(r, \theta, \phi)\|^2 =π⋅R22⋅k+1\displaystyle {} = \frac{\displaystyle \pi \cdot R^2}{\displaystyle 2 \cdot k + 1}​⋅(k+m)!(k−m)!\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle (k+m)!}{\displaystyle (k-m)!}​⋅[1−k⋅(k+1)μks2]\displaystyle {} \cdot \left[ 1 - \frac{\displaystyle k \cdot (k+1)}{\displaystyle \mu_{ks}^2} \right]​⋅Jk+1/22(μks),\displaystyle {} \cdot J_{k + 1/2}^2(\mu_{ks}),∥Ψ2kms(r,θ,ϕ)∥2\displaystyle \|\Psi_{2kms}(r, \theta, \phi)\|^2 =2⋅π⋅R22⋅k+1\displaystyle {} = \frac{\displaystyle 2 \cdot \pi \cdot R^2}{\displaystyle 2 \cdot k + 1}​⋅(k+m)!(k−m)!\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle (k+m)!}{\displaystyle (k-m)!}​⋅[1−k⋅(k+1)μks2]\displaystyle {} \cdot \left[ 1 - \frac{\displaystyle k \cdot (k+1)}{\displaystyle \mu_{ks}^2} \right]​⋅Jk+1/22(μks),\displaystyle {} \cdot J_{k + 1/2}^2(\mu_{ks}),​m\displaystyle m​=0,\displaystyle {} = 0,∥Ψ2kms(r,θ,ϕ)∥2\displaystyle \|\Psi_{2kms}(r, \theta, \phi)\|^2 =π⋅R22⋅k+1\displaystyle {} = \frac{\displaystyle \pi \cdot R^2}{\displaystyle 2 \cdot k + 1}​⋅(k+m)!(k−m)!\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle (k+m)!}{\displaystyle (k-m)!}​⋅[1−k⋅(k+1)μks2]\displaystyle {} \cdot \left[ 1 - \frac{\displaystyle k \cdot (k+1)}{\displaystyle \mu_{ks}^2} \right]​⋅Jk+1/22(μks),\displaystyle {} \cdot J_{k + 1/2}^2(\mu_{ks}),​m\displaystyle m​≥1,\displaystyle {} \geq 1,∥Ψ2001(r,θ,ϕ)∥2\displaystyle \|\Psi_{2001}(r, \theta, \phi)\|^2 =4⋅π⋅R33,\displaystyle {} = \frac{\displaystyle 4 \cdot \pi \cdot R^3}{\displaystyle 3},T01kms\displaystyle T_{01kms} =∫0R∫0π∫02πT^(r,θ,ϕ,0)\displaystyle {} = \int_0^R \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \widehat{T}(r, \theta, \phi, 0)​⋅Ψ1kms(r,θ,ϕ)\displaystyle {} \cdot \Psi_{1kms}(r, \theta, \phi)​⋅r2\displaystyle {} \cdot r^2​⋅sin⁡(θ) dr dθ dϕ,\displaystyle {} \cdot \sin(\theta) \,dr \,d\theta \,d\phi,T02kms\displaystyle T_{02kms} =∫0R∫0π∫02πT^(r,θ,ϕ,0)\displaystyle {} = \int_0^R \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \widehat{T}(r, \theta, \phi, 0)​⋅Ψ2kms(r,θ,ϕ)\displaystyle {} \cdot \Psi_{2kms}(r, \theta, \phi)​⋅r2\displaystyle {} \cdot r^2​⋅sin⁡(θ) dr dθ dϕ,\displaystyle {} \cdot \sin(\theta) \,dr \,d\theta \,d\phi,f1kms(t)\displaystyle f_{1kms}(t) =∫0R∫0π∫02πf^(r,θ,ϕ,t)\displaystyle {} = \int_0^R \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \widehat{f}(r, \theta, \phi, t)​⋅Ψ1kms(r,θ,ϕ)\displaystyle {} \cdot \Psi_{1kms}(r, \theta, \phi)​⋅r2\displaystyle {} \cdot r^2​⋅sin⁡(θ) dr dθ dϕ,\displaystyle {} \cdot \sin(\theta) \,dr \,d\theta \,d\phi,f2kms(t)\displaystyle f_{2kms}(t) =∫0R∫0π∫02πf^(r,θ,ϕ,t)\displaystyle {} = \int_0^R \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \widehat{f}(r, \theta, \phi, t)​⋅Ψ2kms(r,θ,ϕ)\displaystyle {} \cdot \Psi_{2kms}(r, \theta, \phi)​⋅r2\displaystyle {} \cdot r^2​⋅sin⁡(θ) dr dθ dϕ,\displaystyle {} \cdot \sin(\theta) \,dr \,d\theta \,d\phi,T^(r,θ,ϕ,t)\displaystyle \widehat{T}(r, \theta, \phi, t) =∑k=1∞∑m=1k∑s=1∞Ψ1kms(r,θ,ϕ)∥Ψ1kms(r,θ,ϕ)∥2⋅e−a2⋅γks2⋅t⋅[T01kms\displaystyle {} = \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{k} \sum_{s=1}^{\infty} \frac{\displaystyle \Psi_{1kms}(r, \theta, \phi)}{\displaystyle \|\Psi_{1kms}(r, \theta, \phi)\|^2} \cdot e^{- a^2 \cdot \gamma_{ks}^2 \cdot t} \cdot \Biggl[ T_{01kms}​+∫0tea2⋅γks2⋅τ⋅f1kms(τ) dτ]\displaystyle {} + \int_0^t e^{a^2 \cdot \gamma_{ks}^2 \cdot \tau} \cdot f_{1kms}(\tau) \,d\tau \Biggr]​+∑k=0∞∑m=0k∑s=1∞Ψ2kms(r,θ,ϕ)∥Ψ2kms(r,θ,ϕ)∥2⋅e−a2⋅γks2⋅t⋅[T02kms\displaystyle {} + \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{k} \sum_{s=1}^{\infty} \frac{\displaystyle \Psi_{2kms}(r, \theta, \phi)}{\displaystyle \|\Psi_{2kms}(r, \theta, \phi)\|^2} \cdot e^{- a^2 \cdot \gamma_{ks}^2 \cdot t} \cdot \Biggl[ T_{02kms}​+∫0tea2⋅γks2⋅τ⋅f2kms(τ) dτ],\displaystyle {} + \int_0^t e^{a^2 \cdot \gamma_{ks}^2 \cdot \tau} \cdot f_{2kms}(\tau) \,d\tau \Biggr] ,T(r,θ,ϕ,t)\displaystyle T(r, \theta, \phi, t) =U(r,θ,ϕ,t)\displaystyle {} = U(r, \theta, \phi, t)​+T^(r,θ,ϕ,t).\displaystyle {} + \widehat{T}(r, \theta, \phi, t).
(2.91)

Чтобы получить стационарные решения, устремим в найденных решениях время к бесконечности (tt​→∞{} \to \infty), как это сделано для общего случая в (2.18). Слагаемое с начальным условием занулится, поскольку e−a2⋅γks2⋅te^{- a^2 \cdot \gamma_{ks}^2 \cdot t}​→0{} \to 0; источники и граничные условия перестают зависеть от времени, а интеграл по времени для γks\gamma_{ks}​≠0{} \neq 0 даёт множитель 1a2⋅γks2\frac{1}{a^2 \cdot \gamma_{ks}^2}:

∫0te−a2⋅γks2⋅(t−τ) dτ\displaystyle \int_0^t e^{- a^2 \cdot \gamma_{ks}^2 \cdot (t - \tau)} \,d\tau =1a2⋅γks2\displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a^2 \cdot \gamma_{ks}^2}​⋅(1−e−a2⋅γks2⋅t)\displaystyle {} \cdot (1 - e^{- a^2 \cdot \gamma_{ks}^2 \cdot t})​→1a2⋅γks2приt\displaystyle {} \rightarrow \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a^2 \cdot \gamma_{ks}^2} \quad \text{при} \quad t​→∞,\displaystyle {} \rightarrow \infty,​γks\displaystyle \gamma_{ks}​≠0.\displaystyle {} \neq 0.

Стационарное решение трёхмерной краевой задачи Дирихле примет вид

U(θ,ϕ)\displaystyle U(\theta, \phi) =Φ(θ,ϕ),\displaystyle {} = \Phi(\theta, \phi),f^(r,θ,ϕ)\displaystyle \widehat{f}(r, \theta, \phi) =f(r,θ,ϕ)\displaystyle {} = f(r, \theta, \phi)​+a2r2⋅sin⁡(θ)\displaystyle {} + \frac{\displaystyle a^2}{\displaystyle r^2 \cdot \sin(\theta)}​⋅∂∂θ(sin⁡(θ)⋅∂Φ(θ,ϕ)∂θ)\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle \partial}{\displaystyle \partial \theta} \left( \sin(\theta) \cdot \frac{\displaystyle \partial \Phi(\theta, \phi)}{\displaystyle \partial \theta} \right)​+a2r2⋅sin⁡2(θ)\displaystyle {} + \frac{\displaystyle a^2}{\displaystyle r^2 \cdot \sin^2(\theta)}​⋅∂2Φ(θ,ϕ)∂ϕ2,\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 \Phi(\theta, \phi)}{\displaystyle \partial \phi^2},γks\displaystyle \gamma_{ks} =μksR,\displaystyle {} = \frac{\displaystyle \mu_{ks}}{\displaystyle R},​Jk+1/2(μks)\displaystyle J_{k + 1/2}(\mu_{ks})​=0,\displaystyle {} = 0,​k\displaystyle k​∈(0..∞),\displaystyle {} \in (0..\infty),​s\displaystyle s​∈(1..∞),\displaystyle {} \in (1..\infty),Ψ1kms(r,θ,ϕ)\displaystyle \Psi_{1kms}(r, \theta, \phi) =1r\displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{r}}​⋅Jk+1/2(γks⋅r)\displaystyle {} \cdot J_{k + 1/2}(\gamma_{ks} \cdot r)​⋅Pk(m)(cos⁡(θ))\displaystyle {} \cdot P_k^{(m)}(\cos(\theta))​⋅sin⁡(m⋅ϕ),\displaystyle {} \cdot \sin(m \cdot \phi),​1\displaystyle 1​≤m\displaystyle {} \leq m​≤k,\displaystyle {} \leq k,Ψ2kms(r,θ,ϕ)\displaystyle \Psi_{2kms}(r, \theta, \phi) =1r\displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{r}}​⋅Jk+1/2(γks⋅r)\displaystyle {} \cdot J_{k + 1/2}(\gamma_{ks} \cdot r)​⋅Pk(m)(cos⁡(θ))\displaystyle {} \cdot P_k^{(m)}(\cos(\theta))​⋅cos⁡(m⋅ϕ),\displaystyle {} \cdot \cos(m \cdot \phi),​0\displaystyle 0​≤m\displaystyle {} \leq m​≤k,\displaystyle {} \leq k,∥Ψ1kms(r,θ,ϕ)∥2\displaystyle \|\Psi_{1kms}(r, \theta, \phi)\|^2 =π⋅R22⋅k+1\displaystyle {} = \frac{\displaystyle \pi \cdot R^2}{\displaystyle 2 \cdot k + 1}​⋅(k+m)!(k−m)!\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle (k+m)!}{\displaystyle (k-m)!}​⋅Jk+3/22(μks),\displaystyle {} \cdot J_{k + 3/2}^2(\mu_{ks}),∥Ψ2kms(r,θ,ϕ)∥2\displaystyle \|\Psi_{2kms}(r, \theta, \phi)\|^2 =2⋅π⋅R22⋅k+1\displaystyle {} = \frac{\displaystyle 2 \cdot \pi \cdot R^2}{\displaystyle 2 \cdot k + 1}​⋅(k+m)!(k−m)!\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle (k+m)!}{\displaystyle (k-m)!}​⋅Jk+3/22(μks),\displaystyle {} \cdot J_{k + 3/2}^2(\mu_{ks}),​m\displaystyle m​=0,\displaystyle {} = 0,∥Ψ2kms(r,θ,ϕ)∥2\displaystyle \|\Psi_{2kms}(r, \theta, \phi)\|^2 =π⋅R22⋅k+1\displaystyle {} = \frac{\displaystyle \pi \cdot R^2}{\displaystyle 2 \cdot k + 1}​⋅(k+m)!(k−m)!\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle (k+m)!}{\displaystyle (k-m)!}​⋅Jk+3/22(μks),\displaystyle {} \cdot J_{k + 3/2}^2(\mu_{ks}),​m\displaystyle m​≥1,\displaystyle {} \geq 1,f1kms\displaystyle f_{1kms} =∫0R∫0π∫02πf^(r,θ,ϕ)\displaystyle {} = \int_0^R \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \widehat{f}(r, \theta, \phi)​⋅Ψ1kms(r,θ,ϕ)\displaystyle {} \cdot \Psi_{1kms}(r, \theta, \phi)​⋅r2\displaystyle {} \cdot r^2​⋅sin⁡(θ) dr dθ dϕ,\displaystyle {} \cdot \sin(\theta) \,dr \,d\theta \,d\phi,f2kms\displaystyle f_{2kms} =∫0R∫0π∫02πf^(r,θ,ϕ)\displaystyle {} = \int_0^R \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \widehat{f}(r, \theta, \phi)​⋅Ψ2kms(r,θ,ϕ)\displaystyle {} \cdot \Psi_{2kms}(r, \theta, \phi)​⋅r2\displaystyle {} \cdot r^2​⋅sin⁡(θ) dr dθ dϕ,\displaystyle {} \cdot \sin(\theta) \,dr \,d\theta \,d\phi,T(r,θ,ϕ)\displaystyle T(r, \theta, \phi) =U(θ,ϕ)\displaystyle {} = U(\theta, \phi)​+∑k=1∞∑m=1k∑s=1∞Ψ1kms(r,θ,ϕ)∥Ψ1kms(r,θ,ϕ)∥2\displaystyle {} + \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{k} \sum_{s=1}^{\infty} \frac{\displaystyle \Psi_{1kms}(r, \theta, \phi)}{\displaystyle \|\Psi_{1kms}(r, \theta, \phi)\|^2}​⋅f1kmsa2⋅γks2\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle f_{1kms}}{\displaystyle a^2 \cdot \gamma_{ks}^2}​+∑k=0∞∑m=0k∑s=1∞Ψ2kms(r,θ,ϕ)∥Ψ2kms(r,θ,ϕ)∥2\displaystyle {} + \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{k} \sum_{s=1}^{\infty} \frac{\displaystyle \Psi_{2kms}(r, \theta, \phi)}{\displaystyle \|\Psi_{2kms}(r, \theta, \phi)\|^2}​⋅f2kmsa2⋅γks2.\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle f_{2kms}}{\displaystyle a^2 \cdot \gamma_{ks}^2}.
(2.92)

Стационарное решение трёхмерной краевой задачи Неймана не такое простое. В отличие от задачи Дирихле, чисто неймановская стационарная задача разрешима не всегда. Приведённая функция T^(r,θ,ϕ)\widehat{T}(r, \theta, \phi) удовлетворяет однородным условиям Неймана и стационарному уравнению a2⋅ΔT^(r,θ,ϕ)a^2 \cdot \Delta \widehat{T}(r, \theta, \phi)​+f^(r,θ,ϕ){} + \widehat{f}(r, \theta, \phi)​=0{} = 0. Проинтегрируем его по области:

0\displaystyle 0 =∫0R∫0π∫02π(a2⋅ΔT^+f^)\displaystyle {} = \int_0^R \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \left( a^2 \cdot \Delta \widehat{T} + \widehat{f} \right)​⋅r2\displaystyle {} \cdot r^2​⋅sin⁡(θ) dr dθ dϕ\displaystyle {} \cdot \sin(\theta) \,dr \,d\theta \,d\phi​=a2⋅∮r=R∂T^∂n dS\displaystyle {} = a^2 \cdot \oint_{r=R} \frac{\displaystyle \partial \widehat{T}}{\displaystyle \partial \mathbf{n}} \,dS​+∫0R∫0π∫02πf^\displaystyle {} + \int_0^R \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \widehat{f}​⋅r2\displaystyle {} \cdot r^2​⋅sin⁡(θ) dr dθ dϕ\displaystyle {} \cdot \sin(\theta) \,dr \,d\theta \,d\phi​=∫0R∫0π∫02πf^\displaystyle {} = \int_0^R \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \widehat{f}​⋅r2\displaystyle {} \cdot r^2​⋅sin⁡(θ) dr dθ dϕ.\displaystyle {} \cdot \sin(\theta) \,dr \,d\theta \,d\phi.

Граничный интеграл обратился в нуль в силу однородных условий Неймана, и осталось условие разрешимости (2.22): ∫0R∫0π∫02πf^(r,θ,ϕ)⋅r2⋅sin⁡(θ) dr dθ dϕ\int_0^R \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \widehat{f}(r, \theta, \phi) \cdot r^2 \cdot \sin(\theta) \,dr \,d\theta \,d\phi​=0{} = 0 — суммарный приведённый источник по области должен обращаться в нуль (иначе тепло накапливается и стационара нет). При его выполнении решение определяется лишь с точностью до произвольной аддитивной постоянной CC: ей отвечает нулевая мода (γ01\gamma_{01}​=0{} = 0, Ψ2001(r,θ,ϕ)\Psi_{2001}(r, \theta, \phi)​=1{} = 1), амплитуда которой стационарным уравнением не фиксируется. С этой оговоркой решение примет вид

U(r,θ,ϕ)\displaystyle U(r, \theta, \phi) =Φ(θ,ϕ)⋅r,\displaystyle {} = \Phi(\theta, \phi) \cdot r,f^(r,θ,ϕ)\displaystyle \widehat{f}(r, \theta, \phi) =f(r,θ,ϕ)\displaystyle {} = f(r, \theta, \phi)​+2⋅a2⋅Φ(θ,ϕ)r\displaystyle {} + \frac{\displaystyle 2 \cdot a^2 \cdot \Phi(\theta, \phi)}{\displaystyle r}​+a2r⋅sin⁡(θ)\displaystyle {} + \frac{\displaystyle a^2}{\displaystyle r \cdot \sin(\theta)}​⋅∂∂θ(sin⁡(θ)⋅∂Φ(θ,ϕ)∂θ)\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle \partial}{\displaystyle \partial \theta} \left( \sin(\theta) \cdot \frac{\displaystyle \partial \Phi(\theta, \phi)}{\displaystyle \partial \theta} \right)​+a2r⋅sin⁡2(θ)\displaystyle {} + \frac{\displaystyle a^2}{\displaystyle r \cdot \sin^2(\theta)}​⋅∂2Φ(θ,ϕ)∂ϕ2,\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 \Phi(\theta, \phi)}{\displaystyle \partial \phi^2},γks\displaystyle \gamma_{ks} =μksR,\displaystyle {} = \frac{\displaystyle \mu_{ks}}{\displaystyle R},​Jk+1/2′(μks)\displaystyle J_{k + 1/2}'(\mu_{ks})​=12⋅μks⋅Jk+1/2(μks),\displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2 \cdot \mu_{ks}} \cdot J_{k + 1/2}(\mu_{ks}),​μks\displaystyle \mu_{ks}​>0,\displaystyle {} > 0,k\displaystyle k ∈(0..∞),\displaystyle {} \in (0..\infty),​s\displaystyle s​∈(1..∞),\displaystyle {} \in (1..\infty),Ψ1kms(r,θ,ϕ)\displaystyle \Psi_{1kms}(r, \theta, \phi) =1r\displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{r}}​⋅Jk+1/2(γks⋅r)\displaystyle {} \cdot J_{k + 1/2}(\gamma_{ks} \cdot r)​⋅Pk(m)(cos⁡(θ))\displaystyle {} \cdot P_k^{(m)}(\cos(\theta))​⋅sin⁡(m⋅ϕ),\displaystyle {} \cdot \sin(m \cdot \phi),​1\displaystyle 1​≤m\displaystyle {} \leq m​≤k,\displaystyle {} \leq k,Ψ2kms(r,θ,ϕ)\displaystyle \Psi_{2kms}(r, \theta, \phi) =1r\displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{r}}​⋅Jk+1/2(γks⋅r)\displaystyle {} \cdot J_{k + 1/2}(\gamma_{ks} \cdot r)​⋅Pk(m)(cos⁡(θ))\displaystyle {} \cdot P_k^{(m)}(\cos(\theta))​⋅cos⁡(m⋅ϕ),\displaystyle {} \cdot \cos(m \cdot \phi),​0\displaystyle 0​≤m\displaystyle {} \leq m​≤k,\displaystyle {} \leq k,∥Ψ1kms(r,θ,ϕ)∥2\displaystyle \|\Psi_{1kms}(r, \theta, \phi)\|^2 =π⋅R22⋅k+1\displaystyle {} = \frac{\displaystyle \pi \cdot R^2}{\displaystyle 2 \cdot k + 1}​⋅(k+m)!(k−m)!\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle (k+m)!}{\displaystyle (k-m)!}​⋅[1−k⋅(k+1)μks2]\displaystyle {} \cdot \left[ 1 - \frac{\displaystyle k \cdot (k+1)}{\displaystyle \mu_{ks}^2} \right]​⋅Jk+1/22(μks),\displaystyle {} \cdot J_{k + 1/2}^2(\mu_{ks}),∥Ψ2kms(r,θ,ϕ)∥2\displaystyle \|\Psi_{2kms}(r, \theta, \phi)\|^2 =2⋅π⋅R22⋅k+1\displaystyle {} = \frac{\displaystyle 2 \cdot \pi \cdot R^2}{\displaystyle 2 \cdot k + 1}​⋅(k+m)!(k−m)!\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle (k+m)!}{\displaystyle (k-m)!}​⋅[1−k⋅(k+1)μks2]\displaystyle {} \cdot \left[ 1 - \frac{\displaystyle k \cdot (k+1)}{\displaystyle \mu_{ks}^2} \right]​⋅Jk+1/22(μks),\displaystyle {} \cdot J_{k + 1/2}^2(\mu_{ks}),​m\displaystyle m​=0,\displaystyle {} = 0,∥Ψ2kms(r,θ,ϕ)∥2\displaystyle \|\Psi_{2kms}(r, \theta, \phi)\|^2 =π⋅R22⋅k+1\displaystyle {} = \frac{\displaystyle \pi \cdot R^2}{\displaystyle 2 \cdot k + 1}​⋅(k+m)!(k−m)!\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle (k+m)!}{\displaystyle (k-m)!}​⋅[1−k⋅(k+1)μks2]\displaystyle {} \cdot \left[ 1 - \frac{\displaystyle k \cdot (k+1)}{\displaystyle \mu_{ks}^2} \right]​⋅Jk+1/22(μks),\displaystyle {} \cdot J_{k + 1/2}^2(\mu_{ks}),​m\displaystyle m​≥1,\displaystyle {} \geq 1,f1kms\displaystyle f_{1kms} =∫0R∫0π∫02πf^(r,θ,ϕ)\displaystyle {} = \int_0^R \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \widehat{f}(r, \theta, \phi)​⋅Ψ1kms(r,θ,ϕ)\displaystyle {} \cdot \Psi_{1kms}(r, \theta, \phi)​⋅r2\displaystyle {} \cdot r^2​⋅sin⁡(θ) dr dθ dϕ,\displaystyle {} \cdot \sin(\theta) \,dr \,d\theta \,d\phi,f2kms\displaystyle f_{2kms} =∫0R∫0π∫02πf^(r,θ,ϕ)\displaystyle {} = \int_0^R \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \widehat{f}(r, \theta, \phi)​⋅Ψ2kms(r,θ,ϕ)\displaystyle {} \cdot \Psi_{2kms}(r, \theta, \phi)​⋅r2\displaystyle {} \cdot r^2​⋅sin⁡(θ) dr dθ dϕ,\displaystyle {} \cdot \sin(\theta) \,dr \,d\theta \,d\phi,T(r,θ,ϕ)\displaystyle T(r, \theta, \phi) =U(r,θ,ϕ)\displaystyle {} = U(r, \theta, \phi)​+∑k=1∞∑m=1k∑s=1∞Ψ1kms(r,θ,ϕ)∥Ψ1kms(r,θ,ϕ)∥2\displaystyle {} + \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{k} \sum_{s=1}^{\infty} \frac{\displaystyle \Psi_{1kms}(r, \theta, \phi)}{\displaystyle \|\Psi_{1kms}(r, \theta, \phi)\|^2}​⋅f1kmsa2⋅γks2\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle f_{1kms}}{\displaystyle a^2 \cdot \gamma_{ks}^2}​+∑k=0∞∑m=0k∑s=1∞Ψ2kms(r,θ,ϕ)∥Ψ2kms(r,θ,ϕ)∥2\displaystyle {} + \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{k} \sum_{s=1}^{\infty} \frac{\displaystyle \Psi_{2kms}(r, \theta, \phi)}{\displaystyle \|\Psi_{2kms}(r, \theta, \phi)\|^2}​⋅f2kmsa2⋅γks2\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle f_{2kms}}{\displaystyle a^2 \cdot \gamma_{ks}^2}​+C,\displaystyle {} + C,​C\displaystyle C​=const.\displaystyle {} = \text{const}.
(2.93)