Тепловое поле 1D, Дирихле — Метод конечных элементов

Пример: нестационарная задача Дирихле

Рассмотрим конкретный пример нестационарной задачи Дирихле. Возьмём стержень на отрезке $[\alpha, \beta]$ ${} = [0, 1]$ с температуропроводностью $a^2$ ${} = 0{,}05$ . Изначально стержень холодный, а температура на концах не задана сразу, а растёт во времени: концы линейно прогреваются от нуля до $20$ и $80$ соответственно за первые 5 секунд, после чего удерживаются. Внутри стержня поместим точечный источник тепла $f(x)$ ${} = P \cdot \delta(x - x_0)$ мощностью $P$ ${} = 10$ в точке $x_0$ ${} = 0{,}35$ . Постановка задачи

\displaystyle \frac{\displaystyle \partial T(x, t)}{\displaystyle \partial t}

\displaystyle {} = a^2 \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 T(x, t)}{\displaystyle \partial x^2}

\displaystyle {} + P \cdot \delta(x - x_0),

\displaystyle T(x, 0)

\displaystyle {} = 0,

\displaystyle T(\alpha, t)

\displaystyle {} = \varphi_\alpha(t),

\displaystyle T(\beta, t)

\displaystyle {} = \varphi_\beta(t),

(7.1)

где температуры на концах зависят от времени

\displaystyle \varphi_\alpha(t)

\displaystyle {} = \begin{cases} 4t, & 0 \le t \le 5,\\ 20, & t > 5, \end{cases} \qquad \varphi_\beta(t)

\displaystyle {} = \begin{cases} 16t, & 0 \le t \le 5,\\ 80, & t > 5. \end{cases}

Загрузка…

Рис. 7.1. Нестационарная задача Дирихле: прогрев стержня во времени. Синяя кривая — профиль температуры

T(x, t)

, оранжевая отметка — точечный источник.