Для вычисления нормы решения уравнения для геометрии необходимо вычислить норму присоединённого полинома Лежандра, которая определяется следующим образом
где P k ( m ) ( z ) P_k^{(m)}(z) = ( 1 − z 2 ) m 2 ⋅ d m d z m P k ( z ) {} = (1 - z^2)^{\frac{\displaystyle m}{\displaystyle 2}} \cdot \frac{\displaystyle d^m}{\displaystyle dz^m} P_k(z) (F.1) ∫ − 1 1 [ P k ( m ) ( z ) ] 2 d z , \int_{-1}^1 \left[ P_k^{(m)}(z) \right]^2 \,dz,
∫ − 1 1 [ P k ( m ) ( z ) ] 2 d z \displaystyle \int_{-1}^1 \left[ P_k^{(m)}(z) \right]^2 \,dz = ∫ − 1 1 ( 1 − z 2 ) m [ d m d z m P k ( z ) ] 2 d z . \displaystyle {} = \int_{-1}^1 (1 - z^2)^m \left[ \frac{d^m}{dz^m} P_k(z) \right]^2 \,dz. Подставим формулу Родрига (E.2 Θ k ( z ) \displaystyle \Theta_k(z) = P k ( z ) \displaystyle {} = P_k(z) = 1 2 k ⋅ k ! ⋅ d k d z k ( z 2 − 1 ) k , \displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2^k \cdot k!} \cdot \frac{\displaystyle d^k}{\displaystyle dz^k} \left(z^2 - 1\right)^k, z z
Понятно, что m m ≤ k {} \leq k k k + m {} + m 2 ⋅ k 2 \cdot k m m = 0 {} = 0
Возьмём его по частям:
∫ − 1 1 [ d k d z k ( z 2 − 1 ) k ] 2 d z \displaystyle \int_{-1}^1 \left[ \frac{d^k}{dz^k} \left(z^2 - 1 \right)^k \right]^2 \,dz = ∣ u = d k d z k ( z 2 − 1 ) k , d u = d k + 1 d z k + 1 ( z 2 − 1 ) k d z d v = d k d z k ( z 2 − 1 ) k d z , v = d k − 1 d z k − 1 ( z 2 − 1 ) k ∣ \displaystyle {} = \left | \begin{array}{ll} u = \frac{d^k}{dz^k} \left(z^2 - 1 \right)^k, &du = \frac{d^{k+1}}{dz^{k+1}} \left(z^2 - 1 \right)^k \,dz\\ dv = \frac{d^k}{dz^k} \left(z^2 - 1 \right)^k \,dz, &v = \frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}} \left(z^2 - 1 \right)^k \end{array} \right | Внеинтегральные члены равны нулю: производные d i d z i ( z 2 − 1 ) k \frac{\displaystyle d^i}{\displaystyle dz^i} \left(z^2 - 1 \right)^k i i < k {} < k k k
1 2 2 k ⋅ ( k ! ) 2 \displaystyle \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2^{2k} \cdot (k!)^2} ⋅ ∫ − 1 1 [ d k d z k ( z 2 − 1 ) k ] 2 d z \displaystyle {} \cdot \int_{-1}^1 \left[ \frac{d^k}{dz^k} \left(z^2 - 1 \right)^k \right]^2 \,dz = ( − 1 ) k 2 2 k ⋅ ( k ! ) 2 \displaystyle {} = \frac{\displaystyle (-1)^k}{\displaystyle 2^{2k} \cdot (k!)^2} ⋅ ∫ − 1 1 ( z 2 − 1 ) k \displaystyle {} \cdot \int_{-1}^1 \left(z^2 - 1 \right)^k ⋅ d 2 k d z 2 k ( z 2 − 1 ) k d z , \displaystyle {} \cdot \frac{d^{2k}}{dz^{2k}} \left(z^2 - 1 \right)^k \,dz, теперь из формулы бинома Ньютона становится очевидно, что d 2 k d z 2 k ( z 2 − 1 ) k \frac{d^{2k}}{dz^{2k}} \left(z^2 - 1 \right)^k = ( 2 k ) ! {} = (2k)! 2 ⋅ k 2 \cdot k ( 2 k ) ! (2k)!
Осталось вычислить интеграл
∫ − 1 1 ( z 2 − 1 ) k d z \displaystyle \int_{-1}^1 \left(z^2 - 1 \right)^k \,dz = ∣ u = ( z 2 − 1 ) k , d u = 2 ⋅ k ⋅ z ⋅ ( z 2 − 1 ) k − 1 d z d v = d z , v = z ∣ \displaystyle {} = \left | \begin{array}{ll} u = \left(z^2 - 1 \right)^k, &du = 2 \cdot k \cdot z \cdot (z^2 - 1)^{k-1} \,dz\\ dv = dz, &v = z \end{array} \right | очевидно, что внеинтегральный член равен нулю, поэтому
∫ − 1 1 ( z 2 − 1 ) k d z \displaystyle \int_{-1}^1 \left(z^2 - 1 \right)^k \,dz = − 2 \displaystyle {} = -2 ⋅ k \displaystyle {} \cdot k ⋅ ∫ − 1 1 z 2 \displaystyle {} \cdot \int_{-1}^1 z^2 ⋅ ( z 2 − 1 ) k − 1 d z , \displaystyle {} \cdot (z^2 - 1)^{k-1} \,dz, заменим z 2 z^2 z 2 z^2 − 1 {} - 1 + 1 {} + 1
∫ − 1 1 ( z 2 − 1 ) k d z \displaystyle \int_{-1}^1 \left(z^2 - 1 \right)^k \,dz = − 2 ⋅ k 2 ⋅ k + 1 \displaystyle {} = - \frac{\displaystyle 2 \cdot k}{\displaystyle 2 \cdot k + 1} ⋅ ∫ − 1 1 ( z 2 − 1 ) k − 1 d z , \displaystyle {} \cdot \int_{-1}^1 \left(z^2 - 1 \right)^{k-1} \,dz, применяя эту рекуррентную формулу ещё k k − 1 {} - 1
∫ − 1 1 ( z 2 − 1 ) k d z \displaystyle \int_{-1}^1 \left(z^2 - 1 \right)^k \,dz = ( − 1 ) k \displaystyle {} = (-1)^k ⋅ 2 ⋅ k 2 ⋅ k + 1 \displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle 2 \cdot k}{\displaystyle 2 \cdot k + 1} ⋅ 2 ⋅ ( k − 1 ) 2 ⋅ ( k − 1 ) + 1 \displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle 2 \cdot (k - 1)}{\displaystyle 2 \cdot (k - 1) + 1} ⋅ 2 ⋅ ( k − 2 ) 2 ⋅ ( k − 2 ) + 1 \displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle 2 \cdot (k - 2)}{\displaystyle 2 \cdot (k - 2) + 1} ⋅ ⋯ \displaystyle {} \cdot \cdots ⋅ 2 ⋅ 1 2 ⋅ 1 + 1 \displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle 2 \cdot 1}{\displaystyle 2 \cdot 1 + 1} ⋅ 2 , \displaystyle {} \cdot 2, ∫ − 1 1 ( z 2 − 1 ) k d z \displaystyle \int_{-1}^1 \left(z^2 - 1 \right)^k \,dz = ( − 1 ) k \displaystyle {} = (-1)^k ⋅ 2 \displaystyle {} \cdot 2 ⋅ 2 k ⋅ k ! ⋅ 2 k ⋅ k ! ( 2 ⋅ k + 1 ) ! . \displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle 2^k \cdot k! \cdot 2^k \cdot k!}{\displaystyle (2 \cdot k + 1)!}. В итоге множители ( − 1 ) k (-1)^k
Запишем общеизвестную рекуррентную формулу для присоединённых полиномов Лежандра, которая потребуется для следующего интегрирования по частям
для небольшого упрощения обозначим ϵ \epsilon = ( k + m ) ⋅ ( k − m + 1 ) {} = \left( k + m \right) \cdot \left( k - m + 1 \right)
Вернёмся к интегралу (F.2 ∫ − 1 1 ( 1 − z 2 ) m [ d m d z m P k ( z ) ] 2 d z \displaystyle \int_{-1}^1 (1 - z^2)^m \left[ \frac{d^m}{dz^m} P_k(z) \right]^2 \,dz = 1 2 2 k ⋅ ( k ! ) 2 \displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2^{2k} \cdot (k!)^2} ⋅ ∫ − 1 1 ( 1 − z 2 ) m \displaystyle {} \cdot \int_{-1}^1 (1 - z^2)^m ⋅ [ d k + m d z k + m ( z 2 − 1 ) k ] 2 d z . \displaystyle {} \cdot \left[ \frac{d^{k+m}}{dz^{k+m}} \left(z^2 - 1 \right)^k \right]^2 \,dz.
∫ − 1 1 ( 1 − z 2 ) m ⋅ [ d m d z m P k ( z ) ] 2 d z \displaystyle \int_{-1}^1 \left( 1 - z^2 \right)^m \cdot \left[ \frac{\displaystyle d^m}{\displaystyle dz^m} P_k(z) \right]^2 \,dz = ∣ u = ( 1 − z 2 ) m ⋅ d m d z m P k ( z ) d u = ( 1 − z 2 ) ( m / 2 ) − 1 ⋅ [ − 2 ⋅ m ⋅ z ⋅ P k ( m ) ( z ) + 1 − z 2 ⋅ P k ( m + 1 ) ( z ) ] d z = ( 1 − z 2 ) m − 1 2 ⋅ [ − P k ( m + 1 ) ( z ) − ϵ ⋅ P k ( m − 1 ) ( z ) + P k ( m + 1 ) ( z ) ] d z = − ( 1 − z 2 ) m − 1 2 ⋅ ϵ ⋅ P k ( m − 1 ) ( z ) d z d v = d m d z m P k ( z ) d z , v = d m − 1 d z m − 1 P k ( z ) = ( 1 − z 2 ) 1 − m 2 ⋅ P k ( m − 1 ) ( z ) ∣ \displaystyle {} = \left | \begin{aligned} &u = \left( 1 - z^2 \right)^m \cdot \frac{\displaystyle d^m}{\displaystyle dz^m} P_k(z)\\ &du = \left( 1 - z^2 \right)^{(m/2)-1} \cdot \left[ -2 \cdot m \cdot z \cdot P_k^{(m)}(z) + \sqrt{1 - z^2} \cdot P_k^{(m+1)}(z) \right] \,dz=\\ &\left( 1 - z^2 \right)^{\frac{\displaystyle m-1}{\displaystyle 2}} \cdot \left[ - P_k^{(m+1)}(z) - \epsilon \cdot P_k^{(m-1)}(z) + P_k^{(m+1)}(z) \right] \,dz=\\ &- \left( 1 - z^2 \right)^{\frac{\displaystyle m-1}{\displaystyle 2}} \cdot \epsilon \cdot P_k^{(m-1)}(z) \,dz\\ &dv = \frac{\displaystyle d^m}{\displaystyle dz^m} P_k(z) \,dz,\\ &v = \frac{\displaystyle d^{m-1}}{\displaystyle dz^{m-1}} P_k(z) = \left( 1 - z^2 \right)^{\frac{\displaystyle 1-m}{\displaystyle 2}} \cdot P_k^{(m-1)}(z) \end{aligned} \right | внеинтегральный член содержит множитель 1 − z 2 \sqrt{1 - z^2}
∫ − 1 1 P k ( m ) ( z ) ⋅ P k ( m ) ( z ) d z \displaystyle \int_{-1}^1 P_k^{(m)}(z) \cdot P_k^{(m)}(z) \,dz = ( k + m ) \displaystyle {} = (k+m) ⋅ ( k − m + 1 ) \displaystyle {} \cdot (k-m+1) ⋅ ∫ − 1 1 P k ( m − 1 ) ( z ) \displaystyle {} \cdot \int_{-1}^1 P_k^{(m-1)}(z) ⋅ P k ( m − 1 ) ( z ) d z , \displaystyle {} \cdot P_k^{(m-1)}(z) \,dz, последовательно применяя интегрирование по частям ещё m m − 1 {} - 1 F.4 1 2 2 k ⋅ ( k ! ) 2 \displaystyle \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2^{2k} \cdot (k!)^2} ⋅ ∫ − 1 1 [ d k d z k ( z 2 − 1 ) k ] 2 d z \displaystyle {} \cdot \int_{-1}^1 \left[ \frac{d^k}{dz^k} \left(z^2 - 1 \right)^k \right]^2 \,dz = 2 2 ⋅ k + 1 . \displaystyle {} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 2 \cdot k + 1}.
∫ − 1 1 P k ( m ) ( z ) ⋅ P k ( m ) ( z ) d z \displaystyle \int_{-1}^1 P_k^{(m)}(z) \cdot P_k^{(m)}(z) \,dz = 2 2 ⋅ k + 1 \displaystyle {} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 2 \cdot k + 1} ⋅ ( k + m ) \displaystyle {} \cdot (k+m) ⋅ ( k − m + 1 ) \displaystyle {} \cdot (k-m+1) ⋅ ( k + m − 1 ) \displaystyle {} \cdot (k+m-1) ⋅ ( k − m + 2 ) ⋯ , \displaystyle {} \cdot (k-m+2) \cdots, множители с плюсом убывают от k k + m {} + m k k + 1 {} + 1 k k − m {} - m + 1 {} + 1 k k m m ≤ k {} \leq k
( k + m ) ⋅ ( k − m + 1 ) ⋅ ( k + m − 1 ) ⋅ ( k − m + 2 ) ⋯ \displaystyle (k+m) \cdot (k-m+1) \cdot (k+m-1) \cdot (k-m+2) \cdots = ( k + m ) ! k ! ⋅ k ! ( k − m ) ! \displaystyle {} = \frac{\displaystyle (k+m)!}{\displaystyle k!} \cdot \frac{\displaystyle k!}{\displaystyle (k-m)!} = ( k + m ) ! ( k − m ) ! . \displaystyle {} = \frac{\displaystyle (k+m)!}{\displaystyle (k-m)!}. Итоговая норма присоединённого полинома Лежандра имеет вид
E. Уравнение Лежандра G. Уравнение Бесселя в сферических координатах