B. Специальные функции — Метод конечных элементов

При решении краевых задач методом разделения переменных уравнение в частных производных распадается на обыкновенные дифференциальные уравнения по каждой координате. В зависимости от системы координат и геометрии области эти уравнения приводят к разным семействам ортогональных функций.

Функции Бесселя первого рода $J_m(r)$ . Возникают при разделении переменных в полярных и цилиндрических координатах: радиальная часть уравнения Гельмгольца сводится к уравнению Бесселя

\displaystyle r^2 \cdot \frac{\displaystyle d^2 y(r)}{\displaystyle dr^2}

\displaystyle {} + r \cdot \frac{\displaystyle d y(r)}{\displaystyle dr}

\displaystyle {} + (r^2 - m^2) \cdot y(r)

\displaystyle {} = 0.

Графики первых порядков показаны на рисунке (B.1).

Функции Бесселя первого рода порядков 0, 1, 2, 3 — **Рис. B.1.** Функции Бесселя первого рода $J_m(r)$ порядков $m$ ${} = 0, 1, 2, 3$ .

Функции Неймана $Y_m(r)$ (функции Бесселя второго рода). Возникают как второе линейно независимое решение того же уравнения Бесселя. В отличие от $J_m$ , они неограниченно растут по модулю у оси: $Y_m(r)$ ${} \to -\infty$ при $r$ ${} \to 0$ . Поэтому в задачах, где область включает ось $r$ ${} = 0$ , их отбрасывают из условия ограниченности решения, но в кольцевых (не содержащих оси) областях они входят в решение наравне с $J_m$ . Графики первых порядков показаны на рисунке (B.2).

Функции Неймана (Бесселя второго рода) порядков 0, 1, 2, 3 — **Рис. B.2.** Функции Неймана $Y_m(r)$ порядков $m$ ${} = 0, 1, 2, 3$ .

Сферические функции Бесселя $j_k(r)$ . Появляются в радиальной части уравнения Гельмгольца в сферических координатах

\displaystyle r^2 \cdot \frac{\displaystyle d^2 y(r)}{\displaystyle dr^2}

\displaystyle {} + 2 \cdot r \cdot \frac{\displaystyle d y(r)}{\displaystyle dr}

\displaystyle {} + \left( r^2 - k \cdot (k+1) \right) \cdot y(r)

\displaystyle {} = 0.

Подстановка $R(r)$ ${} = \dfrac{1}{\sqrt{r}} \cdot \widehat{R}(r)$ сводит его к уравнению Бесселя полуцелого порядка, поэтому решения выражаются через обычные функции Бесселя

\displaystyle j_k(r)

\displaystyle {} = \sqrt{\dfrac{\pi}{2 \cdot r}} \cdot J_{k + 1/2}(r).

Как и в цилиндрическом случае, $j_k$ осциллируют с убывающей амплитудой; их графики приведены на рисунке (B.3).

Сферические функции Бесселя порядков 0, 1, 2, 3 — **Рис. B.3.** Сферические функции Бесселя $j_k(r)$ порядков $k$ ${} = 0, 1, 2, 3$ .

Полиномы Лежандра $P_k(z)$ . Возникают из угловой (полярной) части уравнения Гельмгольца в сферических координатах. После замены $z$ ${} = \cos(\theta)$ и при $m$ ${} = 0$ уравнение принимает вид уравнения Лежандра

\displaystyle (1 - z^2) \cdot \frac{\displaystyle d^2 y(z)}{\displaystyle dz^2}

\displaystyle {} - 2 \cdot z \cdot \frac{\displaystyle d y(z)}{\displaystyle dz}

\displaystyle {} + k \cdot (k+1) \cdot y(z)

\displaystyle {} = 0,

ограниченные на отрезке $z$ ${} \in [-1, 1]$ решения которого — полиномы Лежандра степени $k$ . Они образуют ортогональный базис на $[-1, 1]$ ; несколько первых показаны на рисунке (B.4).

Полиномы Лежандра степеней 0, 1, 2, 3 — **Рис. B.4.** Полиномы Лежандра $P_k(z)$ степеней $k$ ${} = 0, 1, 2, 3$ .

Присоединённые функции Лежандра $P_k^{(m)}(z)$ . Если в полярной части $m$ ${} \neq 0$ , то уравнение Лежандра обобщается до присоединённого уравнения

\displaystyle (1 - z^2) \cdot \frac{\displaystyle d^2 y(z)}{\displaystyle dz^2}

\displaystyle {} - 2 \cdot z \cdot \frac{\displaystyle d y(z)}{\displaystyle dz}

\displaystyle {} + \left[ k \cdot (k+1) - \dfrac{m^2}{1 - z^2} \right] \cdot y(z)

\displaystyle {} = 0,

решения которого — присоединённые функции Лежандра $P_k^{(m)}(z)$ , выражающиеся через полиномы Лежандра

\displaystyle P_k^{(m)}(z)

\displaystyle {} = (1 - z^2)^{m/2} \cdot \frac{\displaystyle d^m}{\displaystyle dz^m} P_k(z).

При $m$ ${} = 0$ они переходят в полиномы Лежандра $P_k(z)$ , а вместе с азимутальным множителем $\cos(m \cdot \phi)$ или $\sin(m \cdot \phi)$ образуют угловую часть собственной функции.