Матрица демпфирования 1D — Метод конечных элементов

Теперь вычислим матрицу демпфирования для одномерного случая. Матрица демпфирования связана с интегралом квадрата пробной функции. Рассмотрим интеграл для одного отрезка с вершинами $x_i, x_{i+1}$

\int_{x_i}^{x_{i+1}} \upsilon^2 \,dx.

(6.21)

Пробная функция на отрезке имеет вид $\upsilon_{(i)(i+1)}(x) = q_i \cdot \phi_i(x) + q_{i+1} \cdot \phi_{i+1}(x)$ . Примем во внимание (5.7) и (5.8) из раздела о функциях <<крышек>> и запишем соотношения для функций <<крышек>>

\begin{cases} \phi_i(x) = a_i + b_i \cdot x\\ \phi_{i+1}(x) = a_{i+1} + b_{i+1} \cdot x \end{cases}

(6.22)

Подставим пробную функцию в (6.21)

\int_{x_i}^{x_{i+1}} \upsilon_{(i)(i+1)}^2 \,dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}} \left[ q_i \cdot (a_i + b_i \cdot x) + q_{i+1} \cdot (a_{i+1} + b_{i+1} \cdot x) \right]^2 \,dx.

Учитывая (5.8), можно записать

\int_{x_i}^{x_{i+1}} \upsilon_{(i)(i+1)}^2 \,dx = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle (x_i - x_{i+1})^2} \cdot \int_{x_i}^{x_{i+1}} \left[(-q_i \cdot x_{i+1} + q_{i+1} \cdot x_i) + (q_i - q_{i+1}) \cdot x \right]^2 \,dx.

Раскроем квадрат и разделим интеграл на три части

\begin{aligned} &\int_{x_i}^{x_{i+1}} \upsilon_{(i)(i+1)}^2 \,dx = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle (x_i - x_{i+1})^2} \cdot \Big[ \int_{x_i}^{x_{i+1}} (-q_i \cdot x_{i+1} + q_{i+1} \cdot x_i)^2 \,dx\\ &+ 2 \cdot \int_{x_i}^{x_{i+1}} (-q_i \cdot x_{i+1} + q_{i+1} \cdot x_i) \cdot (q_i - q_{i+1}) \cdot x \,dx\\ &+ \int_{x_i}^{x_{i+1}} (q_i - q_{i+1})^2 \cdot x^2 \,dx \Big] \end{aligned}

Вычислим каждый из трёх интегралов

\begin{aligned} &\int_{x_i}^{x_{i+1}} \upsilon_{(i)(i+1)}^2 \,dx = \frac{\displaystyle (-q_i \cdot x_{i+1} + q_{i+1} \cdot x_i)^2 \cdot x}{\displaystyle (x_i - x_{i+1})^2} \bigg|_{x_i}^{x_{i+1}}\\ &+ \frac{\displaystyle (-q_i \cdot x_{i+1} + q_{i+1} \cdot x_i) \cdot (q_i - q_{i+1}) \cdot x^2}{\displaystyle (x_i - x_{i+1})^2} \bigg|_{x_i}^{x_{i+1}}\\ &+ \frac{\displaystyle (q_i - q_{i+1})^2 \cdot x^3}{\displaystyle 3 \cdot (x_i - x_{i+1})^2} \bigg|_{x_i}^{x_{i+1}}. \end{aligned}

После упрощения получаем

\int_{x_i}^{x_{i+1}} \upsilon_{(i)(i+1)}^2 \,dx = - \frac{\displaystyle (q_i^2 + q_i \cdot q_{i+1} + q_{i+1}^2) \cdot (x_i - x_{i+1})^2}{\displaystyle 3 \cdot (x_i - x_{i+1})} = \frac{\displaystyle x_{i+1} - x_i}{\displaystyle 3} \cdot (q_i^2 + q_i \cdot q_{i+1} + q_{i+1}^2).

Введём обозначение длины отрезка

\int_{x_i}^{x_{i+1}} \upsilon_{(i)(i+1)}^2 \,dx = \frac{L}{3} \cdot \left[ q_i^2 + q_i \cdot q_{i+1} + q_{i+1}^2 \right],

где $L$ — длина отрезка, которая вычисляется по формуле

L = x_{i+1} - x_i.

(6.23)

Введём обозначения для элементов локальной матрицы демпфирования отрезка

\begin{split} &c_{(i)(i)} = \frac{\displaystyle L}{\displaystyle 3}\\ &c_{(i+1)(i+1)} = \frac{\displaystyle L}{\displaystyle 3}\\ &c_{(i)(i+1)} = c_{(i+1)(i)} = \frac{\displaystyle L}{\displaystyle 6} \end{split}

(6.24)

Таким образом, локальная матрица демпфирования для одномерного элемента имеет вид

\begin{aligned}\mathbf{C} = \begin{bmatrix} c_{(i)(i)} & c_{(i)(i+1)}\\ c_{(i+1)(i)} & c_{(i+1)(i+1)} \end{bmatrix} = \frac{\displaystyle L}{\displaystyle 6} \begin{bmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{bmatrix}.\end{aligned}

(6.25)

Глобальная матрица демпфирования $\mathbf{C}$ получается путём суммирования вкладов от всех отрезков сетки методом сборки: элементы локальных матриц добавляются к соответствующим элементам глобальной матрицы согласно глобальной нумерации узлов. Размерность глобальной матрицы демпфирования равна $N \times N$ , где $N$ — общее количество узлов сетки.

Матрица жёсткости 3D Матрица демпфирования 2D