Вектор нагрузки 1D

Теперь вычислим вектор нагрузки для одномерного случая. Вектор нагрузки связан с интегралом произведения функции источника на пробную функцию. Рассмотрим интеграл для одного отрезка с вершинами $x_i, x_{i+1}$

Пробная функция на отрезке имеет вид $\upsilon(x)$​${} = q_i \cdot \phi_i(x)$​${} + q_{i+1} \cdot \phi_{i+1}(x)$. Для вычисления интеграла необходимо интерполировать функцию источника $f(x)$ на отрезке $[x_i, x_{i+1}]$ линейной функцией. Представим $f(x)$ в виде $\widetilde{f}(x)$​${} = e_1$​${} + e_2 \cdot x$. Коэффициенты $e_1$ и $e_2$ определяются из условий интерполяции в узлах

Решая эту систему по аналогии с (5.8$\displaystyle \begin{cases} a_{i-1} = \frac{\displaystyle -x_i}{\displaystyle x_{i-1} - x_i}\\ b_{i-1} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x_{i-1} - x_i} \end{cases}$​$\displaystyle \begin{cases} a_{i} = \frac{\displaystyle x_{i-1}}{\displaystyle x_{i-1} - x_i}\\ b_{i} = \frac{\displaystyle -1}{\displaystyle x_{i-1} - x_i} \end{cases}$), получаем

Подставим интерполированную функцию источника и пробную функцию в (6.34$$\int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x) \cdot \upsilon \,dx.$$). Примем во внимание (5.7$\displaystyle \begin{cases} a_{i-1} + b_{i-1} \cdot x_{i-1} = 1\\ a_{i-1} + b_{i-1} \cdot x_i = 0 \end{cases}$​$\displaystyle \begin{cases} a_{i} + b_{i} \cdot x_{i-1} = 0\\ a_{i} + b_{i} \cdot x_i = 1 \end{cases}$) и (5.8$\displaystyle \begin{cases} a_{i-1} = \frac{\displaystyle -x_i}{\displaystyle x_{i-1} - x_i}\\ b_{i-1} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x_{i-1} - x_i} \end{cases}$​$\displaystyle \begin{cases} a_{i} = \frac{\displaystyle x_{i-1}}{\displaystyle x_{i-1} - x_i}\\ b_{i} = \frac{\displaystyle -1}{\displaystyle x_{i-1} - x_i} \end{cases}$) из раздела о функциях «крышек»

Раскроем скобки и разделим интеграл на части

Вычислим каждый из интегралов

Подставляя выражения для $e_1, e_2$ из (6.36$\displaystyle e_1$ $\displaystyle {} = \frac{\displaystyle f_i \cdot x_{i+1} - f_{i+1} \cdot x_i}{\displaystyle x_{i+1} - x_i}$$\displaystyle e_2$ $\displaystyle {} = \frac{\displaystyle f_{i+1} - f_i}{\displaystyle x_{i+1} - x_i}$) и используя соотношения (5.8$\displaystyle \begin{cases} a_{i-1} = \frac{\displaystyle -x_i}{\displaystyle x_{i-1} - x_i}\\ b_{i-1} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x_{i-1} - x_i} \end{cases}$​$\displaystyle \begin{cases} a_{i} = \frac{\displaystyle x_{i-1}}{\displaystyle x_{i-1} - x_i}\\ b_{i} = \frac{\displaystyle -1}{\displaystyle x_{i-1} - x_i} \end{cases}$), после упрощения получаем

Дальнейшие преобразования с учётом (5.8$\displaystyle \begin{cases} a_{i-1} = \frac{\displaystyle -x_i}{\displaystyle x_{i-1} - x_i}\\ b_{i-1} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x_{i-1} - x_i} \end{cases}$​$\displaystyle \begin{cases} a_{i} = \frac{\displaystyle x_{i-1}}{\displaystyle x_{i-1} - x_i}\\ b_{i} = \frac{\displaystyle -1}{\displaystyle x_{i-1} - x_i} \end{cases}$) приводят к окончательному результату

Раскроем и перегруппируем члены

где $l_{(i)(i+1)}$​${} = x_{i+1}$​${} - x_i$ — длина отрезка.

Введём обозначения для элементов локального вектора нагрузки отрезка

Таким образом, локальный вектор нагрузки для одномерного элемента имеет вид

Глобальный вектор нагрузки $\mathbf{R}$ получается путём суммирования вкладов от всех отрезков сетки методом сборки: элементы локальных векторов добавляются к соответствующим элементам глобального вектора согласно глобальной нумерации узлов. Размерность глобального вектора нагрузки равна $N$, где $N$ — общее количество узлов сетки. Важно отметить, что для внутренних узлов происходит суммирование вкладов от двух смежных элементов, в результате чего элемент глобального вектора нагрузки для внутреннего узла $j$ принимает вид

где $l_{(j-1)(j)}$​${} = x_j$​${} - x_{j-1}$ и $l_{(j)(j+1)}$​${} = x_{j+1}$​${} - x_j$ — длины смежных отрезков. Для граничных узлов элементные вклады собираются так же, но при последующем учёте граничных условий соответствующие компоненты системы могут изменяться.

Например, для сетки с узлами $0, 1, \ldots, i, i$​${} +1, \ldots, N$ глобальный вектор нагрузки, собранный из локальных вкладов по правилу (6.39$\displaystyle R_j$ $\displaystyle {} = \frac{\displaystyle l_{(j-1)(j)}}{\displaystyle 6}$​$\displaystyle {} \cdot (f_{j-1} + 2 \cdot f_j)$​$\displaystyle {} + \frac{\displaystyle l_{(j)(j+1)}}{\displaystyle 6}$​$\displaystyle {} \cdot (2 \cdot f_j + f_{j+1}),$) для внутренних узлов, принимает вид (до учёта граничных условий)