G. Уравнение Бесселя в сферических координатах

При решении уравнения для геометрии в сферических координатах возникает следующее уравнение для радиуса

r2⋅d2R(r)dr2\displaystyle r^2 \cdot \frac{\displaystyle d^2 R(r)}{\displaystyle dr^2} +2⋅r⋅dR(r)dr\displaystyle + 2 \cdot r \cdot \frac{\displaystyle d R(r)}{\displaystyle dr} +(r2⋅γ2−k⋅(k+1))⋅R(r)\displaystyle + \left( r^2 \cdot \gamma^2 - k \cdot (k + 1) \right) \cdot R(r) =0,\displaystyle = 0,
(G.1)

где γ\gamma — собственное значение, kk — целое неотрицательное число.

Сделаем подстановку R(r)R(r) =1r⋅R^(r)= \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt r} \cdot \widehat{R}(r) и проведём преобразования

dR(r)dr\displaystyle \frac{\displaystyle d R(r)}{\displaystyle dr} =ddr(1r⋅R^(r))\displaystyle = \frac{\displaystyle d}{\displaystyle dr} \left( \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt r} \cdot \widehat{R}(r) \right) =−12⋅r⋅r⋅R^(r)\displaystyle = - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2 \cdot r \cdot \sqrt r} \cdot \widehat{R}(r) +1r⋅dR^(r)dr,\displaystyle + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt r} \cdot \frac{\displaystyle d \widehat{R}(r)}{\displaystyle dr},
d2R(r)dr2\displaystyle \frac{\displaystyle d^2 R(r)}{\displaystyle dr^2} =−12⋅ddr(1r⋅r⋅R^(r))\displaystyle = - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \cdot \frac{\displaystyle d}{\displaystyle dr} \left( \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r \cdot \sqrt r} \cdot \widehat{R}(r) \right) +ddr(1r⋅dR^(r)dr),\displaystyle + \frac{\displaystyle d}{\displaystyle dr} \left( \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt r} \cdot \frac{\displaystyle d \widehat{R}(r)}{\displaystyle dr} \right),
−12⋅ddr(1r⋅r⋅R^(r))\displaystyle - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \cdot \frac{\displaystyle d}{\displaystyle dr} \left( \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r \cdot \sqrt r} \cdot \widehat{R}(r) \right) =34⋅1r2⋅r⋅R^(r)\displaystyle = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r^2 \cdot \sqrt r} \cdot \widehat{R}(r) −12⋅1r⋅r⋅dR^(r)dr,\displaystyle - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r \cdot \sqrt r} \cdot \frac{\displaystyle d \widehat{R}(r)}{\displaystyle dr},
ddr(1r⋅dR^(r)dr)\displaystyle \frac{\displaystyle d}{\displaystyle dr} \left( \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt r} \cdot \frac{\displaystyle d \widehat{R}(r)}{\displaystyle dr} \right) =−12⋅r⋅r⋅dR^(r)dr\displaystyle = - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2 \cdot r \cdot \sqrt r} \cdot \frac{\displaystyle d \widehat{R}(r)}{\displaystyle dr} +1r⋅d2R^(r)dr2,\displaystyle + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt r} \cdot \frac{\displaystyle d^2 \widehat{R}(r)}{\displaystyle dr^2},
d2R(r)dr2\displaystyle \frac{\displaystyle d^2 R(r)}{\displaystyle dr^2} =1r⋅d2R^(r)dr2\displaystyle = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt r} \cdot \frac{\displaystyle d^2 \widehat{R}(r)}{\displaystyle dr^2} −1r⋅r⋅dR^(r)dr\displaystyle - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r \cdot \sqrt r} \cdot \frac{\displaystyle d \widehat{R}(r)}{\displaystyle dr} +34⋅1r2⋅r⋅R^(r),\displaystyle + \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r^2 \cdot \sqrt r} \cdot \widehat{R}(r),
r2⋅d2R(r)dr2\displaystyle r^2 \cdot \frac{\displaystyle d^2 R(r)}{\displaystyle dr^2} =r⋅r⋅d2R^(r)dr2\displaystyle = r \cdot \sqrt r \cdot \frac{\displaystyle d^2 \widehat{R}(r)}{\displaystyle dr^2} −r⋅dR^(r)dr\displaystyle - \sqrt r \cdot \frac{\displaystyle d \widehat{R}(r)}{\displaystyle dr} +34⋅1r⋅R^(r),\displaystyle + \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt r} \cdot \widehat{R}(r),
r2⋅d2R(r)dr2\displaystyle r^2 \cdot \frac{\displaystyle d^2 R(r)}{\displaystyle dr^2} +2⋅r⋅dR(r)dr\displaystyle + 2 \cdot r \cdot \frac{\displaystyle d R(r)}{\displaystyle dr} =r⋅r⋅d2R^(r)dr2\displaystyle = r \cdot \sqrt r \cdot \frac{\displaystyle d^2 \widehat{R}(r)}{\displaystyle dr^2} +r⋅dR^(r)dr\displaystyle + \sqrt r \cdot \frac{\displaystyle d \widehat{R}(r)}{\displaystyle dr} −14⋅1r⋅R^(r),\displaystyle - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt r} \cdot \widehat{R}(r),

разделим на r⋅rr \cdot \sqrt r и запишем уравнение (G.1) через коэффициенты

ζ1⋅d2R^(r)dr2\displaystyle \zeta_1 \cdot \frac{\displaystyle d^2 \widehat{R}(r)}{\displaystyle dr^2} +ζ2⋅dR^(r)dr\displaystyle + \zeta_2 \cdot \frac{\displaystyle d \widehat{R}(r)}{\displaystyle dr} +ζ3⋅R^(r)\displaystyle + \zeta_3 \cdot \widehat{R}(r) =0,\displaystyle = 0,

а теперь определим коэффициенты, предварительно преобразовав свободный член

γ2\displaystyle \gamma^2 −k⋅(k+1)r2\displaystyle - \frac{\displaystyle k \cdot (k + 1)}{\displaystyle r^2} −14⋅r2\displaystyle - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4 \cdot r^2} =γ2\displaystyle = \gamma^2 −(k+1/2)2r2,\displaystyle - \frac{\displaystyle (k + 1/2)^2}{\displaystyle r^2},
ζ1\displaystyle \zeta_1 =1,ζ2\displaystyle = 1, \quad \zeta_2 =1r,ζ3\displaystyle = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r}, \quad \zeta_3 =γ2\displaystyle = \gamma^2 −(k+1/2)2r2,\displaystyle - \frac{\displaystyle (k + 1/2)^2}{\displaystyle r^2},

таким образом, уравнение (G.1) принимает вид

d2R^(r)dr2\displaystyle \frac{\displaystyle d^2 \widehat{R}(r)}{\displaystyle dr^2} +1r⋅dR^(r)dr\displaystyle + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r} \cdot \frac{\displaystyle d \widehat{R}(r)}{\displaystyle dr} +(γ2−(k+1/2)2r2)⋅R^(r)\displaystyle + \left( \gamma^2 - \frac{\displaystyle (k + 1/2)^2}{\displaystyle r^2} \right) \cdot \widehat{R}(r) =0.\displaystyle = 0.

Получили уравнение Бесселя с полуцелым индексом kk +1/2+ 1/2. Его ограниченные в нуле решения — функции Бесселя первого рода R^(r)\widehat{R}(r) =Jk+1/2(γ⋅r)= J_{k + 1/2}(\gamma \cdot r), kk ∈(0..∞)\in (0..\infty); решения второго рода Yk+1/2(γ⋅r)Y_{k + 1/2}(\gamma \cdot r) бесконечны в нуле, что видно на рисунке (B.2), и отбрасываются из условия ограниченности. Таким образом, решение исходного уравнения (G.1) имеет вид

R(r)\displaystyle R(r) =1r⋅Jk+1/2(γ⋅r),\displaystyle = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt r} \cdot J_{k + 1/2}(\gamma \cdot r),
(G.2)

где Jk+1/2(γ⋅r)J_{k + 1/2}(\gamma \cdot r) — функция Бесселя первого рода с полуцелым индексом. С точностью до постоянного множителя это сферическая функция Бесселя: jk(γ⋅r)j_k(\gamma \cdot r) =π2⋅γ⋅r⋅Jk+1/2(γ⋅r)= \sqrt{\frac{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2 \cdot \gamma \cdot r}} \cdot J_{k + 1/2}(\gamma \cdot r).