C. Норма функции Бесселя (Дирихле)

Для вычисления нормы решения уравнения для геометрии необходимо вычислить норму функции Бесселя, которая определяется следующим образом

∫0μr⋅Jm2(r) dr,\int_0^{\mu} r \cdot J_m^2(r) \,dr,
(C.1)

где μ\mu — одно из решений уравнения Jm(μ)J_m(\mu)​=0{} = 0.

Известны следующие интегралы

∫rm+1⋅Jm(r) dr\displaystyle \int r^{m+1} \cdot J_m(r) \,dr =rm+1⋅Jm+1(r)\displaystyle {} = r^{m+1} \cdot J_{m+1}(r)​+C,\displaystyle {} + C,
(C.2)
∫r−m⋅Jm+1(r) dr\displaystyle \int r^{-m} \cdot J_{m+1}(r) \,dr =−r−m⋅Jm(r)\displaystyle {} = - r^{-m} \cdot J_m(r)​+C,\displaystyle {} + C,
(C.3)

а также формулы для производных функции Бесселя

r⋅dJm(r)dr\displaystyle r \cdot \frac{\displaystyle d J_m(r)}{\displaystyle dr} =m⋅Jm(r)\displaystyle {} = m \cdot J_m(r)​−r⋅Jm+1(r),\displaystyle {} - r \cdot J_{m+1}(r),​при m\displaystyle \text{при } m​=0  \displaystyle {} = 0 \;​⇒  dJ0(r)dr\displaystyle {} \Rightarrow\; \frac{\displaystyle d J_0(r)}{\displaystyle dr}​=−J1(r),\displaystyle {} = - J_1(r),
(C.4)
r⋅dJm(r)dr\displaystyle r \cdot \frac{\displaystyle d J_m(r)}{\displaystyle dr} =−m⋅Jm(r)\displaystyle {} = - m \cdot J_m(r)​+r⋅Jm−1(r),\displaystyle {} + r \cdot J_{m-1}(r),​при m\displaystyle \text{при } m​=0  \displaystyle {} = 0 \;​⇒  dJ0(r)dr\displaystyle {} \Rightarrow\; \frac{\displaystyle d J_0(r)}{\displaystyle dr}​=J−1(r).\displaystyle {} = J_{-1}(r).
(C.5)

Попробуем вычислить норму (C.1) интегрированием по частям:

∫0μr⋅Jm2(r) dr\displaystyle \int_0^{\mu} r \cdot J_m^2(r) \,dr =∣u=r−m⋅Jm(r),v=rm+1⋅Jm+1(r)du=−m⋅r−m−1⋅Jm(r) dr+r−m−1⋅[m⋅Jm(r)−r⋅Jm+1(r)] drdv=rm+1⋅Jm(r) dr∣\displaystyle {} = \left | \begin{array}{l} u = r^{-m} \cdot J_m(r), \quad v = r^{m+1} \cdot J_{m+1}(r)\\ du = -m \cdot r^{-m-1} \cdot J_m(r) \,dr + r^{-m-1} \cdot \left[ m \cdot J_m(r) - r \cdot J_{m+1}(r) \right] \,dr\\ dv = r^{m+1} \cdot J_m(r) \,dr \end{array} \right |
∫0μr⋅Jm2(r) dr\displaystyle \int_0^{\mu} r \cdot J_m^2(r) \,dr =r⋅Jm(r)⋅Jm+1(r)∣0μ\displaystyle {} = r \cdot J_m(r) \cdot J_{m+1}(r) \bigg|_0^{\mu}​+∫0μr⋅Jm+12(r) dr\displaystyle {} + \int_0^{\mu} r \cdot J_{m+1}^2(r) \,dr​=∫0μr⋅Jm+12(r) dr.\displaystyle {} = \int_0^{\mu} r \cdot J_{m+1}^2(r) \,dr.

Полученный интеграл также возьмём по частям:

∫0μr⋅Jm+12(r) dr\displaystyle \int_0^{\mu} r \cdot J_{m+1}^2(r) \,dr =∣u=Jm+12(r),du=2⋅Jm+1(r)⋅1r⋅[−(m+1)⋅Jm+1(r)+r⋅Jm(r)] drdv=r dr,v=r2/2∣\displaystyle {} = \left | \begin{array}{ll} u = J_{m+1}^2(r), &du = 2 \cdot J_{m+1}(r) \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r} \cdot \left[ - (m+1) \cdot J_{m+1}(r) + r \cdot J_m(r) \right] \,dr\\ dv = r \,dr, &v = r^2 / 2 \end{array} \right |
∫0μr⋅Jm+12(r) dr\displaystyle \int_0^{\mu} r \cdot J_{m+1}^2(r) \,dr =μ22⋅Jm+12(μ)\displaystyle {} = \frac{\displaystyle \mu^2}{\displaystyle 2} \cdot J_{m+1}^2(\mu)​+(m+1)⋅∫0μr⋅Jm+12(r) dr\displaystyle {} + (m+1) \cdot \int_0^{\mu} r \cdot J_{m+1}^2(r) \,dr​−∫0μr2\displaystyle {} - \int_0^{\mu} r^2​⋅Jm(r)\displaystyle {} \cdot J_m(r)​⋅Jm+1(r) dr.\displaystyle {} \cdot J_{m+1}(r) \,dr.

Последний интеграл возьмём по частям:

∫0μr2⋅Jm(r)⋅Jm+1(r) dr\displaystyle \int_0^{\mu} r^2 \cdot J_m(r) \cdot J_{m+1}(r) \,dr =∣u=rm+2⋅Jm(r),v=−r−m⋅Jm(r)du=(m+2)⋅rm+1⋅Jm(r)+rm+1⋅[m⋅Jm(r)−r⋅Jm+1(r)] drdv=r−m⋅Jm+1(r) dr∣\displaystyle {} = \left | \begin{array}{l} u = r^{m+2} \cdot J_m(r), \quad v = - r^{-m} \cdot J_m(r)\\ du = (m+2) \cdot r^{m+1} \cdot J_m(r) + r^{m+1} \cdot \left[ m \cdot J_m(r) - r \cdot J_{m+1}(r) \right] \,dr\\ dv = r^{-m} \cdot J_{m+1}(r) \,dr \end{array} \right |
u⋅v∣0μ\displaystyle u \cdot v \bigg|_0^{\mu} =−r2⋅Jm2(r)∣0μ\displaystyle {} = - r^2 \cdot J_m^2(r) \bigg|_0^{\mu}​=0,\displaystyle {} = 0,
du⋅v\displaystyle du \cdot v =−2⋅(m+1)⋅r⋅Jm2(r)\displaystyle {} = - 2 \cdot (m+1) \cdot r \cdot J_m^2(r)​+r2⋅Jm(r)⋅Jm+1(r),\displaystyle {} + r^2 \cdot J_m(r) \cdot J_{m+1}(r),
∫0μr2⋅Jm(r)⋅Jm+1(r) dr\displaystyle \int_0^{\mu} r^2 \cdot J_m(r) \cdot J_{m+1}(r) \,dr =2⋅(m+1)⋅∫0μr⋅Jm2(r) dr\displaystyle {} = 2 \cdot (m+1) \cdot \int_0^{\mu} r \cdot J_m^2(r) \,dr​−∫0μr2\displaystyle {} - \int_0^{\mu} r^2​⋅Jm(r)\displaystyle {} \cdot J_m(r)​⋅Jm+1(r) dr,\displaystyle {} \cdot J_{m+1}(r) \,dr,
∫0μr2⋅Jm(r)⋅Jm+1(r) dr\displaystyle \int_0^{\mu} r^2 \cdot J_m(r) \cdot J_{m+1}(r) \,dr =(m+1)⋅∫0μr⋅Jm2(r) dr.\displaystyle {} = (m+1) \cdot \int_0^{\mu} r \cdot J_m^2(r) \,dr.

Подставим последнее равенство в полученное ранее выражение для интеграла ∫0μr⋅Jm+12(r) dr\int_0^{\mu} r \cdot J_{m+1}^2(r) \,dr. С учётом равенства ∫0μr⋅Jm2(r) dr\int_0^{\mu} r \cdot J_m^2(r) \,dr​=∫0μr⋅Jm+12(r) dr{} = \int_0^{\mu} r \cdot J_{m+1}^2(r) \,dr слагаемые с (m+1)(m+1) сокращаются, и окончательно получаем:

∫0μr⋅Jm2(r) dr\displaystyle \int_0^{\mu} r \cdot J_m^2(r) \,dr =μ22⋅Jm+12(μ).\displaystyle {} = \frac{\displaystyle \mu^2}{\displaystyle 2} \cdot J_{m+1}^2(\mu).
(C.6)