Двумерная краевая задача теплопроводности

Рассмотрим двумерную несимметричную задачу теплопроводности в круге радиуса $R$. Уравнение теплопроводности (1.8$\displaystyle \frac{\partial T(M, t)}{\partial t}$ $\displaystyle = a^2 \cdot \Delta T(M, t)$ $\displaystyle + f(M, t),$) в полярных координатах принимает вид

Краевые условия Дирихле (1.13$\displaystyle T(M, t)$ $\displaystyle = \Phi(M, t), \quad M$ $\displaystyle \in S.$) в двумерном случае имеют вид

где $T_0(r, \theta)$ — начальное условие, $\Phi(\theta, t)$ — граничное условие, которое, разумеется, периодично по $\theta$.

Для избавления от неоднородности введём $T(r, \theta, t)$ $= \widehat{T}(r, \theta, t)$ $+ U(\theta, t)$, выберем функцию $U(\theta, t)$ $= \Phi(\theta, t)$, в соответствии с (2.2$\displaystyle \widehat{T}(M, t)$ $\displaystyle + U(M, t)$ $\displaystyle = \Phi(M, t), \quad \widehat{T}(M, t)$ $\displaystyle = 0 \;$ $\displaystyle \Rightarrow\; U(M, t)$ $\displaystyle = \Phi(M, t), \quad M$ $\displaystyle \in S.$). Тогда уравнение (2.47$\displaystyle \frac{\partial T(r, \theta, t)}{\partial t}$ $\displaystyle = a^2 \cdot \frac{\partial^2 T(r, \theta, t)}{\partial r^2}$ $\displaystyle + a^2 \cdot \frac{1}{r} \cdot \frac{\partial T(r, \theta, t)}{\partial r}$ $\displaystyle + a^2 \cdot \frac{1}{r^2} \cdot \frac{\partial^2 T(r, \theta, t)}{\partial \theta^2}$ $\displaystyle + f(r, \theta, t).$) и краевые условия (2.48$\displaystyle T(r, \theta, 0)$ $\displaystyle = T_0(r, \theta),$$\displaystyle T(R, \theta, t)$ $\displaystyle = \Phi(\theta, t),$$\displaystyle T(r, \theta, t)$ $\displaystyle = T(r, \theta + 2\pi, t),$) примут вид

где $\widehat{f}(r, \theta, t)$ $= f(r, \theta, t)$ $- \frac{\displaystyle \partial U(\theta, t)}{\displaystyle \partial t}$ $+ a^2 \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r^2} \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 U(\theta, t)}{\displaystyle \partial \theta^2}$.

Краевые условия Неймана (1.14$\displaystyle \lambda \cdot \frac{\partial T(M, t)}{\partial \overrightarrow{n}}$ $\displaystyle = \Phi(M, t), \quad M$ $\displaystyle \in S,$) в двумерном случае имеют вид

где $\frac{\displaystyle \partial T(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial \mathbf{n}} \bigg|_{r=R}$ — нормальная производная температуры на окружности радиуса $R$; направление нормали совпадает с направлением координаты $r$.

Для избавления от неоднородности введём $T(r, \theta, t)$ $= \widehat{T}(r, \theta, t)$ $+ U(r, \theta, t)$, выберем функцию $U(r, \theta, t)$ $= \Phi(\theta, t) \cdot r$ — она удовлетворяет условию (2.3$\displaystyle \frac{\partial \widehat{T}(M, t)}{\partial \overrightarrow{n}}$ $\displaystyle + \frac{\partial U(M, t)}{\partial \overrightarrow{n}}$ $\displaystyle = \Phi(M, t), \quad \frac{\partial \widehat{T}(M, t)}{\partial \overrightarrow{n}}$ $\displaystyle = 0 \;$ $\displaystyle \Rightarrow\; \frac{\partial U(M, t)}{\partial \overrightarrow{n}}$ $\displaystyle = \Phi(M, t), \quad M$ $\displaystyle \in S.$): $\frac{\displaystyle \partial U(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial \mathbf{n}} \bigg|_{r=R}$ $= \Phi(\theta, t)$. Тогда уравнение (2.47$\displaystyle \frac{\partial T(r, \theta, t)}{\partial t}$ $\displaystyle = a^2 \cdot \frac{\partial^2 T(r, \theta, t)}{\partial r^2}$ $\displaystyle + a^2 \cdot \frac{1}{r} \cdot \frac{\partial T(r, \theta, t)}{\partial r}$ $\displaystyle + a^2 \cdot \frac{1}{r^2} \cdot \frac{\partial^2 T(r, \theta, t)}{\partial \theta^2}$ $\displaystyle + f(r, \theta, t).$) и краевые условия (2.50$\displaystyle T(r, \theta, 0)$ $\displaystyle = T_0(r, \theta),$$\displaystyle \frac{\displaystyle \partial T(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial \mathbf{n}} \bigg|_{r=R}$ $\displaystyle = \Phi(\theta, t),$$\displaystyle T(r, \theta, t)$ $\displaystyle = T(r, \theta + 2\pi, t),$) примут вид

где $\widehat{f}(r, \theta, t)$ $= f(r, \theta, t)$ $- \frac{\displaystyle \partial U(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial t}$ $+ a^2 \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r} \cdot \frac{\displaystyle \partial U(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial r}$ $+ a^2 \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r^2} \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 U(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial \theta^2}$.

Уравнение (2.8$\displaystyle \Delta \Psi(M)$ $\displaystyle + \gamma^2 \cdot \Psi(M)$ $\displaystyle = 0.$) примет вид

Представим функцию $\Psi(r, \theta)$ в виде произведения двух функций $\Psi(r, \theta)$ $= \Lambda(r) \cdot \Upsilon(\theta)$, подставим в уравнение (2.52$\displaystyle \frac{\displaystyle \partial^2 \Psi(r, \theta)}{\displaystyle \partial r^2}$ $\displaystyle + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r} \cdot \frac{\displaystyle \partial \Psi(r, \theta)}{\displaystyle \partial r}$ $\displaystyle + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r^2} \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 \Psi(r, \theta)}{\displaystyle \partial \theta^2}$ $\displaystyle + \gamma^2 \cdot \Psi(r, \theta)$ $\displaystyle = 0.$) и проведём преобразования

Мы ввели константу $m^2$ по аналогии с разделением переменных для времени и геометрии. Теперь перепишем в виде системы из двух уравнений: одно — по углу $\theta$, другое — по радиусу $r$.

Решение уравнения для угла $\theta$ может быть представлено синусом или косинусом, так как обе эти функции периодичны и удовлетворяют граничному условию $\Upsilon(\theta)$ $= \Upsilon(\theta + 2\pi)$, что накладывает ограничение на $m$ — оно должно быть целым числом. Получается два семейства решений; в дальнейшем возьмём их суперпозицию.

Примем коэффициенты $C_{1m}$ и $C_{2m}$ перед синусом и косинусом равными единице — эти множители всё равно вбираются в коэффициенты разложения. Решение уравнения для радиуса $r$ имеет вид

где $J_m(\gamma \cdot r)$ и $Y_m(\gamma \cdot r)$ — функции Бесселя первого и второго рода соответственно, $A_{1m}$ и $A_{2m}$ — коэффициенты, определяемые из граничных условий, а вес, обеспечивающий ортогональность собственных функций, $\rho(r, \theta)$ $= r$. Причём для того, чтобы функция $\Lambda_m(r)$ была ограниченной при $r$ $\to 0$, необходимо, чтобы $A_{2m}$ $= 0$: функция Бесселя второго рода бесконечна в нуле, что видно на рисунке (B.2).

Таким образом, решения уравнения (2.52$\displaystyle \frac{\displaystyle \partial^2 \Psi(r, \theta)}{\displaystyle \partial r^2}$ $\displaystyle + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r} \cdot \frac{\displaystyle \partial \Psi(r, \theta)}{\displaystyle \partial r}$ $\displaystyle + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r^2} \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 \Psi(r, \theta)}{\displaystyle \partial \theta^2}$ $\displaystyle + \gamma^2 \cdot \Psi(r, \theta)$ $\displaystyle = 0.$) имеют вид

Подставим решения (2.56$\displaystyle \Psi_{1m}(r, \theta)$ $\displaystyle = \Lambda_m(r) \cdot \Upsilon_{1m}(\theta)$ $\displaystyle = A_{1m} \cdot J_m(\gamma \cdot r) \cdot \sin(m \cdot \theta), m$ $\displaystyle \in (1..\infty),$$\displaystyle \Psi_{2m}(r, \theta)$ $\displaystyle = \Lambda_m(r) \cdot \Upsilon_{2m}(\theta)$ $\displaystyle = A_{1m} \cdot J_m(\gamma \cdot r) \cdot \cos(m \cdot \theta), m$ $\displaystyle \in (0..\infty).$) в граничные условия (2.49$\displaystyle \frac{\displaystyle \partial \widehat{T}(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial t}$ $\displaystyle = a^2 \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 \widehat{T}(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial r^2}$ $\displaystyle + a^2 \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r} \cdot \frac{\displaystyle \partial \widehat{T}(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial r}$ $\displaystyle + a^2 \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r^2} \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 \widehat{T}(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial \theta^2}$ $\displaystyle + \widehat{f}(r, \theta, t),$$\displaystyle \widehat{T}(r, \theta, 0)$ $\displaystyle = T_0(r, \theta)$ $\displaystyle - U(\theta, 0),$$\displaystyle \widehat{T}(R, \theta, t)$ $\displaystyle = 0,$$\displaystyle \widehat{T}(r, \theta, t)$ $\displaystyle = \widehat{T}(r, \theta + 2\pi, t),$) и получим

Понятно, что решение имеет смысл только тогда, когда $A_{1m}$ $\neq 0$, что возможно только тогда, когда $J_m(\gamma \cdot R)$ $= 0$. Обозначим корни уравнения $J_m(\mu)$ $= 0$ через $\mu_{mk}$ — тогда собственные значения примут вид

Нулевой и отрицательные корни не годятся: при $\mu$ $= 0$ имеем $\gamma$ $= 0$, и для $m$ $\ge 1$ собственная функция $J_m(0 \cdot r)$ $\equiv 0$ — тождественный нуль, не являющийся собственной функцией, а для $m$ $= 0$ нуль вообще не является корнем: $J_0(0)$ $= 1$. Отрицательные корни новых решений не дают: $J_m(-\mu)$ $= (-1)^m \cdot J_m(\mu)$ — собственная функция та же с точностью до знака. Поэтому берём только положительные корни: $\mu_{mk}, k$ $\in (1..\infty)$.

Таким образом, собственные значения и собственные функции имеют вид

где $A_{1mk}$ — произвольный постоянный множитель: собственная функция определена с точностью до него. Положим $A_{1mk}$ $= 1$ — этот множитель всё равно вбирается в коэффициенты разложения, как и в общем решении.

Для разложения функций в ряд Фурье по $\Psi_{1mk}(r, \theta)$ и $\Psi_{2mk}(r, \theta)$ необходимо вычислить нормы $\|\Psi_{1mk}(r, \theta)\|^2$ и $\|\Psi_{2mk}(r, \theta)\|^2$, вес для полярных координат $\rho(r, \theta)$ $= r$.

Сделаем замену $x$ $= \gamma_{mk} \cdot r$ $= \frac{\displaystyle \mu_{mk}}{\displaystyle R} \cdot r$.

Воспользуемся формулой (C.6$\displaystyle \int_0^{\mu} r \cdot J_m^2(r) \,dr$ $\displaystyle = \frac{\displaystyle \mu^2}{\displaystyle 2} \cdot J_{m+1}^2(\mu).$) для вычисления нормы

В итоге получаем

Нормы для $\|\Psi_{1mk}(r, \theta)\|^2$ и $\|\Psi_{2mk}(r, \theta)\|^2$ имеют вид

Теперь подставим решение (2.56$\displaystyle \Psi_{1m}(r, \theta)$ $\displaystyle = \Lambda_m(r) \cdot \Upsilon_{1m}(\theta)$ $\displaystyle = A_{1m} \cdot J_m(\gamma \cdot r) \cdot \sin(m \cdot \theta), m$ $\displaystyle \in (1..\infty),$$\displaystyle \Psi_{2m}(r, \theta)$ $\displaystyle = \Lambda_m(r) \cdot \Upsilon_{2m}(\theta)$ $\displaystyle = A_{1m} \cdot J_m(\gamma \cdot r) \cdot \cos(m \cdot \theta), m$ $\displaystyle \in (0..\infty).$) в граничные условия (2.51$\displaystyle \frac{\displaystyle \partial \widehat{T}(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial t}$ $\displaystyle = a^2 \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 \widehat{T}(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial r^2}$ $\displaystyle + a^2 \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r} \cdot \frac{\displaystyle \partial \widehat{T}(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial r}$ $\displaystyle + a^2 \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r^2} \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 \widehat{T}(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial \theta^2}$ $\displaystyle + \widehat{f}(r, \theta, t),$$\displaystyle \widehat{T}(r, \theta, 0)$ $\displaystyle = T_0(r, \theta)$ $\displaystyle - U(r, \theta, 0),$$\displaystyle \frac{\displaystyle \partial \widehat{T}(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial \mathbf{n}} \bigg|_{r=R}$ $\displaystyle = 0,$$\displaystyle \widehat{T}(r, \theta, t)$ $\displaystyle = \widehat{T}(r, \theta + 2\pi, t),$) и получим

Понятно, что решение имеет смысл только тогда, когда $A_{1m}$ $\neq 0$, что возможно только тогда, когда $J_m'(\gamma \cdot R)$ $= 0$. Обозначим корни уравнения $J_m'(\mu)$ $= 0$ через $\mu_{mk}$ — тогда собственные значения примут вид

Здесь, в отличие от задачи Дирихле, нулевая мода сохраняется: при $m$ $= 0$ нуль является корнем уравнения $J_0'(\mu)$ $= 0$, и ему отвечают $\gamma$ $= 0$ и собственная функция $\Psi(r, \theta)$ $= J_0(0)$ $= 1$ — ненулевая постоянная, то есть полноценная собственная функция (постоянная мода). Будем считать её первым корнем: $\mu_{01}$ $= 0$. Для $m$ $\ge 1$ нулевой корень собственной функции не даёт ($J_m(0 \cdot r)$ $\equiv 0$), поэтому там по-прежнему берутся только положительные корни.

Таким образом, собственные значения и собственные функции имеют вид

где $A_{1mk}$ — произвольный постоянный множитель; положим его, как и прежде, равным единице.

Нормы собственных функций вычислим так же, как в задаче Дирихле: интеграл по углу остаётся тем же (2.59$\displaystyle \int_0^{2\pi} \sin^2(m \cdot \theta) \,d\theta$ $\displaystyle = \pi, m$ $\displaystyle \in (1..\infty),$$\displaystyle \int_0^{2\pi} \cos^2(m \cdot \theta) \,d\theta$ $\displaystyle = \begin{cases} 2 \cdot \pi, & m = 0, \\ \pi, & m \geq 1 \end{cases}, m$ $\displaystyle \in (0..\infty).$), а вот интеграл по радиусу принимает другое значение — воспользуемся формулой (D.2$\displaystyle \int_0^{\mu} r \cdot J_m^2(r) \,dr$ $\displaystyle = \left( \mu^2 - m^2 \right) \cdot \frac{\displaystyle J_m^2(\mu)}{\displaystyle 2}.$) для вычисления нормы

В итоге получаем

Особый случай $\mu_{01}$ $= 0$ (при $\gamma_{01}$ $= 0$ собственная функция $\Psi_{201}(r, \theta)$ $= 1$) вычислим отдельно

Нормы для $\|\Psi_{1mk}(r, \theta)\|^2$ и $\|\Psi_{2mk}(r, \theta)\|^2$ имеют вид