Двумерная краевая задача теплопроводности

Рассмотрим двумерную несимметричную задачу теплопроводности в круге радиуса $R$. Уравнение теплопроводности (1.8$\displaystyle \frac{\partial T(M, t)}{\partial t}$ $\displaystyle {} = a^2 \cdot \Delta T(M, t)$​$\displaystyle {} + f(M, t),$) в полярных координатах принимает вид

Краевые условия Дирихле (1.13$\displaystyle T(M, t)$ $\displaystyle {} = \Phi(M, t),$​$\displaystyle M$​$\displaystyle {} \in S.$) в двумерном случае имеют вид

где $T_0(r, \theta)$ — начальное условие, $\Phi(\theta, t)$ — граничное условие, которое, разумеется, периодично по $\theta$.

Для избавления от неоднородности введём $T(r, \theta, t)$​${} = \widehat{T}(r, \theta, t)$​${} + U(\theta, t)$, выберем функцию $U(\theta, t)$​${} = \Phi(\theta, t)$, в соответствии с (2.2$\displaystyle \widehat{T}(M, t)$​$\displaystyle {} + U(M, t)$​$\displaystyle {} = \Phi(M, t),$​$\displaystyle \widehat{T}(M, t)$​$\displaystyle {} = 0 \;$​$\displaystyle {} \Rightarrow\; U(M, t)$​$\displaystyle {} = \Phi(M, t),$​$\displaystyle M$​$\displaystyle {} \in S.$). Тогда уравнение (2.47$\displaystyle \frac{\partial T(r, \theta, t)}{\partial t}$ $\displaystyle {} = a^2 \cdot \frac{\partial^2 T(r, \theta, t)}{\partial r^2}$​$\displaystyle {} + a^2 \cdot \frac{1}{r} \cdot \frac{\partial T(r, \theta, t)}{\partial r}$​$\displaystyle {} + a^2 \cdot \frac{1}{r^2} \cdot \frac{\partial^2 T(r, \theta, t)}{\partial \theta^2}$​$\displaystyle {} + f(r, \theta, t).$) и краевые условия (2.48$\displaystyle T(r, \theta, 0)$ $\displaystyle {} = T_0(r, \theta),$$\displaystyle T(R, \theta, t)$ $\displaystyle {} = \Phi(\theta, t),$$\displaystyle T(r, \theta, t)$ $\displaystyle {} = T(r, \theta + 2\pi, t),$) примут вид

где $\widehat{f}(r, \theta, t)$​${} = f(r, \theta, t)$​${} - \frac{\displaystyle \partial U(\theta, t)}{\displaystyle \partial t}$​${} + a^2 \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r^2} \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 U(\theta, t)}{\displaystyle \partial \theta^2}$.

Краевые условия Неймана (1.14$\displaystyle \lambda \cdot \frac{\partial T(M, t)}{\partial \overrightarrow{n}}$ $\displaystyle {} = \Phi(M, t),$​$\displaystyle M$​$\displaystyle {} \in S,$) в двумерном случае имеют вид

где $\frac{\displaystyle \partial T(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial \mathbf{n}} \bigg|_{r=R}$ — нормальная производная температуры на окружности радиуса $R$; направление нормали совпадает с направлением координаты $r$.

Для избавления от неоднородности введём $T(r, \theta, t)$​${} = \widehat{T}(r, \theta, t)$​${} + U(r, \theta, t)$, выберем функцию $U(r, \theta, t)$​${} = \Phi(\theta, t) \cdot r$ — она удовлетворяет условию (2.3$\displaystyle \frac{\partial \widehat{T}(M, t)}{\partial \overrightarrow{n}}$​$\displaystyle {} + \frac{\partial U(M, t)}{\partial \overrightarrow{n}}$​$\displaystyle {} = \Phi(M, t),$​$\displaystyle \frac{\partial \widehat{T}(M, t)}{\partial \overrightarrow{n}}$​$\displaystyle {} = 0 \;$​$\displaystyle {} \Rightarrow\; \frac{\partial U(M, t)}{\partial \overrightarrow{n}}$​$\displaystyle {} = \Phi(M, t),$​$\displaystyle M$​$\displaystyle {} \in S.$): $\frac{\displaystyle \partial U(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial \mathbf{n}} \bigg|_{r=R}$​${} = \Phi(\theta, t)$. Тогда уравнение (2.47$\displaystyle \frac{\partial T(r, \theta, t)}{\partial t}$ $\displaystyle {} = a^2 \cdot \frac{\partial^2 T(r, \theta, t)}{\partial r^2}$​$\displaystyle {} + a^2 \cdot \frac{1}{r} \cdot \frac{\partial T(r, \theta, t)}{\partial r}$​$\displaystyle {} + a^2 \cdot \frac{1}{r^2} \cdot \frac{\partial^2 T(r, \theta, t)}{\partial \theta^2}$​$\displaystyle {} + f(r, \theta, t).$) и краевые условия (2.50$\displaystyle T(r, \theta, 0)$ $\displaystyle {} = T_0(r, \theta),$$\displaystyle \frac{\displaystyle \partial T(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial \mathbf{n}} \bigg|_{r=R}$ $\displaystyle {} = \Phi(\theta, t),$$\displaystyle T(r, \theta, t)$ $\displaystyle {} = T(r, \theta + 2\pi, t),$) примут вид

где $\widehat{f}(r, \theta, t)$​${} = f(r, \theta, t)$​${} - \frac{\displaystyle \partial U(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial t}$​${} + a^2 \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r} \cdot \frac{\displaystyle \partial U(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial r}$​${} + a^2 \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r^2} \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 U(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial \theta^2}$.

Уравнение (2.8$\displaystyle \Delta \Psi(M)$​$\displaystyle {} + \gamma^2 \cdot \Psi(M)$​$\displaystyle {} = 0.$) примет вид

Представим функцию $\Psi(r, \theta)$ в виде произведения двух функций $\Psi(r, \theta)$​${} = \Lambda(r) \cdot \Upsilon(\theta)$, подставим в уравнение (2.52$\displaystyle \frac{\displaystyle \partial^2 \Psi(r, \theta)}{\displaystyle \partial r^2}$​$\displaystyle {} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r} \cdot \frac{\displaystyle \partial \Psi(r, \theta)}{\displaystyle \partial r}$​$\displaystyle {} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r^2} \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 \Psi(r, \theta)}{\displaystyle \partial \theta^2}$​$\displaystyle {} + \gamma^2 \cdot \Psi(r, \theta)$​$\displaystyle {} = 0.$) и проведём преобразования

Мы ввели константу $m^2$ по аналогии с разделением переменных для времени и геометрии. Теперь перепишем в виде системы из двух уравнений: одно — по углу $\theta$, другое — по радиусу $r$.

Решение уравнения для угла $\theta$ может быть представлено синусом или косинусом, так как обе эти функции периодичны и удовлетворяют граничному условию $\Upsilon(\theta)$​${} = \Upsilon(\theta + 2\pi)$, что накладывает ограничение на $m$ — оно должно быть целым числом. Получается два семейства решений; в дальнейшем возьмём их суперпозицию.

Примем коэффициенты $C_{1m}$ и $C_{2m}$ перед синусом и косинусом равными единице — эти множители всё равно вбираются в коэффициенты разложения. Решение уравнения для радиуса $r$ имеет вид

где $J_m(\gamma \cdot r)$ и $Y_m(\gamma \cdot r)$ — функции Бесселя первого и второго рода соответственно, $A_{1m}$ и $A_{2m}$ — коэффициенты, определяемые из граничных условий, а вес, обеспечивающий ортогональность собственных функций, $\rho(r, \theta)$​${} = r$. Причём для того, чтобы функция $\Lambda_m(r)$ была ограниченной при $r$​${} \to 0$, необходимо, чтобы $A_{2m}$​${} = 0$: функция Бесселя второго рода бесконечна в нуле, что видно на рисунке (B.2).

Таким образом, решения уравнения (2.52$\displaystyle \frac{\displaystyle \partial^2 \Psi(r, \theta)}{\displaystyle \partial r^2}$​$\displaystyle {} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r} \cdot \frac{\displaystyle \partial \Psi(r, \theta)}{\displaystyle \partial r}$​$\displaystyle {} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r^2} \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 \Psi(r, \theta)}{\displaystyle \partial \theta^2}$​$\displaystyle {} + \gamma^2 \cdot \Psi(r, \theta)$​$\displaystyle {} = 0.$) имеют вид

Подставим решения (2.56$\displaystyle \Psi_{1m}(r, \theta)$ $\displaystyle {} = \Lambda_m(r) \cdot \Upsilon_{1m}(\theta)$​$\displaystyle {} = A_{1m} \cdot J_m(\gamma \cdot r) \cdot \sin(m \cdot \theta), m$​$\displaystyle {} \in (1..\infty),$$\displaystyle \Psi_{2m}(r, \theta)$ $\displaystyle {} = \Lambda_m(r) \cdot \Upsilon_{2m}(\theta)$​$\displaystyle {} = A_{1m} \cdot J_m(\gamma \cdot r) \cdot \cos(m \cdot \theta), m$​$\displaystyle {} \in (0..\infty).$) в граничные условия (2.49$\displaystyle \frac{\displaystyle \partial \widehat{T}(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial t}$ $\displaystyle {} = a^2 \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 \widehat{T}(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial r^2}$​$\displaystyle {} + a^2 \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r} \cdot \frac{\displaystyle \partial \widehat{T}(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial r}$​$\displaystyle {} + a^2$​$\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r^2}$​$\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 \widehat{T}(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial \theta^2}$​$\displaystyle {} + \widehat{f}(r, \theta, t),$$\displaystyle \widehat{T}(r, \theta, 0)$ $\displaystyle {} = T_0(r, \theta)$​$\displaystyle {} - U(\theta, 0),$$\displaystyle \widehat{T}(R, \theta, t)$ $\displaystyle {} = 0,$$\displaystyle \widehat{T}(r, \theta, t)$ $\displaystyle {} = \widehat{T}(r, \theta + 2\pi, t),$) и получим

Понятно, что решение имеет смысл только тогда, когда $A_{1m}$​${} \neq 0$, что возможно только тогда, когда $J_m(\gamma \cdot R)$​${} = 0$. Обозначим корни уравнения $J_m(\mu)$​${} = 0$ через $\mu_{mk}$ — тогда собственные значения примут вид

Нулевой и отрицательные корни не годятся: при $\mu$​${} = 0$ имеем $\gamma$​${} = 0$, и для $m$​${} \ge 1$ собственная функция $J_m(0 \cdot r)$​${} \equiv 0$ — тождественный нуль, не являющийся собственной функцией, а для $m$​${} = 0$ нуль вообще не является корнем: $J_0(0)$​${} = 1$. Отрицательные корни новых решений не дают: $J_m(-\mu)$​${} = (-1)^m \cdot J_m(\mu)$ — собственная функция та же с точностью до знака. Поэтому берём только положительные корни: $\mu_{mk}, k$​${} \in (1..\infty)$.

Таким образом, собственные значения и собственные функции имеют вид

где $A_{1mk}$ — произвольный постоянный множитель: собственная функция определена с точностью до него. Положим $A_{1mk}$​${} = 1$ — этот множитель всё равно вбирается в коэффициенты разложения, как и в общем решении.

Для разложения функций в ряд Фурье по $\Psi_{1mk}(r, \theta)$ и $\Psi_{2mk}(r, \theta)$ необходимо вычислить нормы $\|\Psi_{1mk}(r, \theta)\|^2$ и $\|\Psi_{2mk}(r, \theta)\|^2$, вес для полярных координат $\rho(r, \theta)$​${} = r$.

Сделаем замену $x$​${} = \gamma_{mk} \cdot r$​${} = \frac{\displaystyle \mu_{mk}}{\displaystyle R} \cdot r$.

Воспользуемся формулой (C.6$\displaystyle \int_0^{\mu} r \cdot J_m^2(r) \,dr$ $\displaystyle {} = \frac{\displaystyle \mu^2}{\displaystyle 2} \cdot J_{m+1}^2(\mu).$) для вычисления нормы

В итоге получаем

Нормы для $\|\Psi_{1mk}(r, \theta)\|^2$ и $\|\Psi_{2mk}(r, \theta)\|^2$ имеют вид

Теперь подставим решение (2.56$\displaystyle \Psi_{1m}(r, \theta)$ $\displaystyle {} = \Lambda_m(r) \cdot \Upsilon_{1m}(\theta)$​$\displaystyle {} = A_{1m} \cdot J_m(\gamma \cdot r) \cdot \sin(m \cdot \theta), m$​$\displaystyle {} \in (1..\infty),$$\displaystyle \Psi_{2m}(r, \theta)$ $\displaystyle {} = \Lambda_m(r) \cdot \Upsilon_{2m}(\theta)$​$\displaystyle {} = A_{1m} \cdot J_m(\gamma \cdot r) \cdot \cos(m \cdot \theta), m$​$\displaystyle {} \in (0..\infty).$) в граничные условия (2.51$\displaystyle \frac{\displaystyle \partial \widehat{T}(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial t}$ $\displaystyle {} = a^2 \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 \widehat{T}(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial r^2}$​$\displaystyle {} + a^2 \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r} \cdot \frac{\displaystyle \partial \widehat{T}(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial r}$​$\displaystyle {} + a^2$​$\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r^2}$​$\displaystyle {} \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 \widehat{T}(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial \theta^2}$​$\displaystyle {} + \widehat{f}(r, \theta, t),$$\displaystyle \widehat{T}(r, \theta, 0)$ $\displaystyle {} = T_0(r, \theta)$​$\displaystyle {} - U(r, \theta, 0),$$\displaystyle \frac{\displaystyle \partial \widehat{T}(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial \mathbf{n}} \bigg|_{r=R}$ $\displaystyle {} = 0,$$\displaystyle \widehat{T}(r, \theta, t)$ $\displaystyle {} = \widehat{T}(r, \theta + 2\pi, t),$) и получим

Понятно, что решение имеет смысл только тогда, когда $A_{1m}$​${} \neq 0$, что возможно только тогда, когда $J_m'(\gamma \cdot R)$​${} = 0$. Обозначим корни уравнения $J_m'(\mu)$​${} = 0$ через $\mu_{mk}$ — тогда собственные значения примут вид

Здесь, в отличие от задачи Дирихле, нулевая мода сохраняется: при $m$​${} = 0$ нуль является корнем уравнения $J_0'(\mu)$​${} = 0$, и ему отвечают $\gamma$​${} = 0$ и собственная функция $\Psi(r, \theta)$​${} = J_0(0)$​${} = 1$ — ненулевая постоянная, то есть полноценная собственная функция (постоянная мода). Будем считать её первым корнем: $\mu_{01}$​${} = 0$. Для $m$​${} \ge 1$ нулевой корень собственной функции не даёт ($J_m(0 \cdot r)$​${} \equiv 0$), поэтому там по-прежнему берутся только положительные корни.

Таким образом, собственные значения и собственные функции имеют вид