Рассмотрим двумерную несимметричную задачу теплопроводности в круге радиуса $R$. Уравнение теплопроводности (1.8$$\frac{\partial T(M, t)}{\partial t} = a^2 \cdot \Delta T(M, t) + f(M, t),$$) в полярных координатах принимает вид

Краевые условия Дирихле (1.13$$T(M, t) = \Phi(M, t), \quad M \in S.$$) в двумерном случае имеют вид

где $T_0(r, \theta)$ — начальное условие, $\Phi(\theta, t)$ — граничное условие, которое, разумеется, периодично по $\theta$.

Для избавления от неоднородности введём $T(r, \theta, t) = \widehat{T}(r, \theta, t) + U(\theta, t)$, выберем функцию $U(\theta, t) = \Phi(\theta, t)$, в соответствии с (2.2$$\widehat{T}(M, t) + U(M, t) = \Phi(M, t), \quad \widehat{T}(M, t) = 0 \;\Rightarrow\; U(M, t) = \Phi(M, t), \quad M \in S.$$). Тогда уравнение (2.47$$\frac{\partial T(r, \theta, t)}{\partial t} = a^2 \cdot \frac{\partial^2 T(r, \theta, t)}{\partial r^2} + a^2 \cdot \frac{1}{r} \cdot \frac{\partial T(r, \theta, t)}{\partial r} + a^2 \cdot \frac{1}{r^2} \cdot \frac{\partial^2 T(r, \theta, t)}{\partial \theta^2} + f(r, \theta, t),$$) и краевые условия (2.48$$\begin{cases} T(r, \theta, 0) = T_0(r, \theta),\\ T(R, \theta, t) = \Phi(\theta, t),\\ T(r, \theta, t) = T(r, \theta + 2\pi, t), \end{cases}$$) примут вид

где $\widehat{f}(r, \theta, t) = f(r, \theta, t) - \frac{\displaystyle \partial U(\theta, t)}{\displaystyle \partial t} + a^2 \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r^2} \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 U(\theta, t)}{\displaystyle \partial \theta^2}$.

Краевые условия Неймана (1.14$$\lambda \cdot \frac{\partial T(M, t)}{\partial \vec{n}} = \Phi(M, t), \quad M \in S,$$) в двумерном случае имеют вид

где $\frac{\displaystyle \partial T(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial \mathbf{n}} \bigg|_{r=R}$ — нормальная производная температуры на окружности радиуса $R$; направление нормали совпадает с направлением координаты $r$.

Для избавления от неоднородности введём $T(r, \theta, t) = \widehat{T}(r, \theta, t) + U(r, \theta, t)$, выберем функцию $U(r, \theta, t) = \Phi(\theta, t) \cdot r$ — она удовлетворяет условию (2.3$$\frac{\partial \widehat{T}(M, t)}{\partial \vec{n}} + \frac{\partial U(M, t)}{\partial \vec{n}} = \Phi(M, t), \quad \frac{\partial \widehat{T}(M, t)}{\partial \vec{n}} = 0 \;\Rightarrow\; \frac{\partial U(M, t)}{\partial \vec{n}} = \Phi(M, t), \quad M \in S.$$): $\frac{\displaystyle \partial U(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial \mathbf{n}} \bigg|_{r=R} = \Phi(\theta, t)$. Тогда уравнение (2.47$$\frac{\partial T(r, \theta, t)}{\partial t} = a^2 \cdot \frac{\partial^2 T(r, \theta, t)}{\partial r^2} + a^2 \cdot \frac{1}{r} \cdot \frac{\partial T(r, \theta, t)}{\partial r} + a^2 \cdot \frac{1}{r^2} \cdot \frac{\partial^2 T(r, \theta, t)}{\partial \theta^2} + f(r, \theta, t),$$) и краевые условия (2.50$$\begin{cases} T(r, \theta, 0) = T_0(r, \theta),\\ \frac{\displaystyle \partial T(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial \mathbf{n}} \bigg|_{r=R} = \Phi(\theta, t),\\ T(r, \theta, t) = T(r, \theta + 2\pi, t), \end{cases}$$) примут вид

где $\widehat{f}(r, \theta, t) = f(r, \theta, t) - \frac{\displaystyle \partial U(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial t} + a^2 \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r} \cdot \frac{\displaystyle \partial U(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial r} + a^2 \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r^2} \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 U(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial \theta^2}$.

Уравнение (2.8$$\Delta \Psi(M) + \gamma^2 \cdot \Psi(M) = 0.$$) примет вид

Представим функцию $\Psi(r, \theta)$ в виде произведения двух функций $\Psi(r, \theta) = \Lambda(r) \cdot \Upsilon(\theta)$, подставим в уравнение (2.52$$\frac{\displaystyle \partial^2 \Psi(r, \theta)}{\displaystyle \partial r^2} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r} \cdot \frac{\displaystyle \partial \Psi(r, \theta)}{\displaystyle \partial r} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r^2} \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 \Psi(r, \theta)}{\displaystyle \partial \theta^2} + \gamma^2 \cdot \Psi(r, \theta) = 0.$$) и проведём преобразования

Мы ввели константу $m^2$ по аналогии с разделением переменных для времени и геометрии. Теперь перепишем в виде системы из двух уравнений: одно — по углу $\theta$, другое — по радиусу $r$.

Решение уравнения для угла $\theta$ может быть представлено синусом или косинусом, так как обе эти функции периодичны и удовлетворяют граничному условию $\Upsilon(\theta) = \Upsilon(\theta + 2\pi)$, что накладывает ограничение на $m$ — оно должно быть целым числом. Получается два семейства решений; в дальнейшем возьмём их суперпозицию.

Примем коэффициенты $C_{1m}$ и $C_{2m}$ перед синусом и косинусом равными единице — эти множители всё равно вбираются в коэффициенты разложения. Решение уравнения для радиуса $r$ имеет вид

где $J_m(\gamma \cdot r)$ и $Y_m(\gamma \cdot r)$ — функции Бесселя первого и второго рода соответственно, $A_{1m}$ и $A_{2m}$ — коэффициенты, определяемые из граничных условий, а вес, обеспечивающий ортогональность собственных функций, $\rho(r, \theta) = r$. Причём для того, чтобы функция $\Lambda_m(r)$ была ограниченной при $r \to 0$, необходимо, чтобы $A_{2m} = 0$: функция Бесселя второго рода бесконечна в нуле, что видно на рисунке (B.2).

Таким образом, решения уравнения (2.52$$\frac{\displaystyle \partial^2 \Psi(r, \theta)}{\displaystyle \partial r^2} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r} \cdot \frac{\displaystyle \partial \Psi(r, \theta)}{\displaystyle \partial r} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r^2} \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 \Psi(r, \theta)}{\displaystyle \partial \theta^2} + \gamma^2 \cdot \Psi(r, \theta) = 0.$$) имеют вид

Подставим решения (2.56$$\begin{cases} \Psi_{1m}(r, \theta) = \Lambda_m(r) \cdot \Upsilon_{1m}(\theta) = A_{1m} \cdot J_m(\gamma \cdot r) \cdot \sin(m \cdot \theta), m \in (1..\infty),\\ \Psi_{2m}(r, \theta) = \Lambda_m(r) \cdot \Upsilon_{2m}(\theta) = A_{1m} \cdot J_m(\gamma \cdot r) \cdot \cos(m \cdot \theta), m \in (0..\infty). \end{cases}$$) в граничные условия (2.49$$\begin{cases} \begin{aligned} &\frac{\displaystyle \partial \widehat{T}(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial t} =\\ &a^2 \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 \widehat{T}(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial r^2} + a^2 \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r} \cdot \frac{\displaystyle \partial \widehat{T}(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial r} + a^2 \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r^2} \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 \widehat{T}(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial \theta^2} + \widehat{f}(r, \theta, t),\\ \end{aligned}\\ \widehat{T}(r, \theta, 0) = T_0(r, \theta) - U(\theta, 0),\\ \widehat{T}(R, \theta, t) = 0,\\ \widehat{T}(r, \theta, t) = \widehat{T}(r, \theta + 2\pi, t), \end{cases}$$) и получим

Понятно, что решение имеет смысл только тогда, когда $A_{1m} \neq 0$, что возможно только тогда, когда $J_m(\gamma \cdot R) = 0$. Обозначим корни уравнения $J_m(\mu) = 0$ через $\mu_{mk}$ — тогда собственные значения примут вид

Нулевой и отрицательные корни не годятся: при $\mu = 0$ имеем $\gamma = 0$, и для $m \ge 1$ собственная функция $J_m(0 \cdot r) \equiv 0$ — тождественный нуль, не являющийся собственной функцией, а для $m = 0$ нуль вообще не является корнем: $J_0(0) = 1$. Отрицательные корни новых решений не дают: $J_m(-\mu) = (-1)^m \cdot J_m(\mu)$ — собственная функция та же с точностью до знака. Поэтому берём только положительные корни: $\mu_{mk}, k \in (1..\infty)$.

Таким образом, собственные значения и собственные функции имеют вид

где $A_{1mk}$ — произвольный постоянный множитель: собственная функция определена с точностью до него. Положим $A_{1mk} = 1$ — этот множитель всё равно вбирается в коэффициенты разложения, как и в общем решении.

Для разложения функций в ряд Фурье по $\Psi_{1mk}(r, \theta)$ и $\Psi_{2mk}(r, \theta)$ необходимо вычислить нормы $\|\Psi_{1mk}(r, \theta)\|^2$ и $\|\Psi_{2mk}(r, \theta)\|^2$, вес для полярных координат $\rho(r, \theta) = r$.

Сделаем замену $x = \gamma_{mk} \cdot r = \frac{\displaystyle \mu_{mk}}{\displaystyle R} \cdot r$.

Воспользуемся формулой (C.6$$\int_0^{\mu} r \cdot J_m^2(r) \,dr = \frac{\displaystyle \mu^2}{\displaystyle 2} \cdot J_{m+1}^2(\mu).$$) для вычисления нормы

В итоге получаем

Нормы для $\|\Psi_{1mk}(r, \theta)\|^2$ и $\|\Psi_{2mk}(r, \theta)\|^2$ имеют вид

Теперь подставим решение (2.56$$\begin{cases} \Psi_{1m}(r, \theta) = \Lambda_m(r) \cdot \Upsilon_{1m}(\theta) = A_{1m} \cdot J_m(\gamma \cdot r) \cdot \sin(m \cdot \theta), m \in (1..\infty),\\ \Psi_{2m}(r, \theta) = \Lambda_m(r) \cdot \Upsilon_{2m}(\theta) = A_{1m} \cdot J_m(\gamma \cdot r) \cdot \cos(m \cdot \theta), m \in (0..\infty). \end{cases}$$) в граничные условия (2.51$$\begin{cases} \begin{aligned} &\frac{\displaystyle \partial \widehat{T}(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial t} =\\ &a^2 \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 \widehat{T}(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial r^2} + a^2 \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r} \cdot \frac{\displaystyle \partial \widehat{T}(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial r} + a^2 \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r^2} \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 \widehat{T}(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial \theta^2} + \widehat{f}(r, \theta, t), \end{aligned}\\ \widehat{T}(r, \theta, 0) = T_0(r, \theta) - U(r, \theta, 0),\\ \frac{\displaystyle \partial \widehat{T}(r, \theta, t)}{\displaystyle \partial \mathbf{n}} \bigg|_{r=R} = 0,\\ \widehat{T}(r, \theta, t) = \widehat{T}(r, \theta + 2\pi, t), \end{cases}$$) и получим

Понятно, что решение имеет смысл только тогда, когда $A_{1m} \neq 0$, что возможно только тогда, когда $J_m'(\gamma \cdot R) = 0$. Обозначим корни уравнения $J_m'(\mu) = 0$ через $\mu_{mk}$ — тогда собственные значения примут вид

Здесь, в отличие от задачи Дирихле, нулевая мода сохраняется: при $m = 0$ нуль является корнем уравнения $J_0'(\mu) = 0$, и ему отвечают $\gamma = 0$ и собственная функция $\Psi(r, \theta) = J_0(0) = 1$ — ненулевая постоянная, то есть полноценная собственная функция (постоянная мода). Будем считать её первым корнем: $\mu_{01} = 0$. Для $m \ge 1$ нулевой корень собственной функции не даёт ($J_m(0 \cdot r) \equiv 0$), поэтому там по-прежнему берутся только положительные корни.

Таким образом, собственные значения и собственные функции имеют вид

где $A_{1mk}$ — произвольный постоянный множитель; положим его, как и прежде, равным единице.

Нормы собственных функций вычислим так же, как в задаче Дирихле: интеграл по углу остаётся тем же (2.59$$\begin{cases} \int_0^{2\pi} \sin^2(m \cdot \theta) \,d\theta = \pi, m \in (1..\infty),\\ \int_0^{2\pi} \cos^2(m \cdot \theta) \,d\theta = \begin{cases} 2 \cdot \pi, & m = 0, \\ \pi, & m \geq 1 \end{cases}, m \in (0..\infty). \end{cases}$$), а вот интеграл по радиусу принимает другое значение — воспользуемся формулой (D.2$$\int_0^{\mu} r \cdot J_m^2(r) \,dr = \left( \mu^2 - m^2 \right) \cdot \frac{\displaystyle J_m^2(\mu)}{\displaystyle 2}.$$) для вычисления нормы

В итоге получаем

Особый случай $\mu_{01} = 0$ (при $\gamma_{01} = 0$ собственная функция $\Psi_{201}(r, \theta) = 1$) вычислим отдельно

Нормы для $\|\Psi_{1mk}(r, \theta)\|^2$ и $\|\Psi_{2mk}(r, \theta)\|^2$ имеют вид

Финальное решение двумерной краевой задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями примет вид

В задаче Неймана, в отличие от Дирихле, спектр содержит нулевую моду ($\gamma_{01} = 0$, $\Psi_{201}(r, \theta) = 1$) — случай $\gamma = 0$, который в общем решении (2.18$$T(M) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\displaystyle \Psi_n(M)}{\displaystyle \|\Psi_n(M)\|^2} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a^2 \cdot \gamma_n^2} \cdot \iiint_G \rho(M) \cdot f(M) \cdot \Psi_n(M) \,dG, \quad \gamma_n \neq 0.$$) был оставлен для отдельного рассмотрения; именно она даёт незатухающее слагаемое — член с $m = 0, k = 1$ во второй сумме. Финальное решение двумерной краевой задачи Неймана с неоднородными граничными условиями примет вид