Рассмотрим магнитостатику — стационарное поле прямоугольного постоянного магнита, однородно намагниченного ($\mathbf{M} = \text{const}$). Свободных токов нет, поэтому поле потенциально: $\nabla \times \mathbf{H} = 0$, откуда $\mathbf{H} = -\nabla \varphi$. Подставляя это в условие $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ при $\mathbf{B} = \mu_0 (\mathbf{H} + \mathbf{M})$, получаем для скалярного потенциала одно эллиптическое уравнение (с оператором Лапласа) и условие Дирихле на внешней границе — поле затухает вдали

Слева — оператор Лапласа ($\nabla^2 = \Delta$). Правая часть — источник $\sigma = \nabla \cdot \mathbf{M}$: у однородного магнита внутри он равен нулю, а на полюсных гранях даёт связанный поверхностный заряд (по сути — нормальный «поток» намагниченности $\mathbf{M} \cdot \mathbf{n}$), который зависит от того, на какой грани мы находимся

Уравнение (7.32$$\begin{cases} \frac{\displaystyle \partial^2 \varphi}{\displaystyle \partial x^2} + \frac{\displaystyle \partial^2 \varphi}{\displaystyle \partial y^2} = \sigma(x, y), & (x, y) \in \Omega,\\ \varphi\big|_{\partial \Omega} = 0. \end{cases}$$) — уравнение Пуассона, то есть эллиптическая краевая задача; об эллиптических уравнениях и сведении к ним нестационарных задач — в приложении N. Решаем её численно методом конечных элементов на треугольной сетке: слабая форма $\int_\Omega \nabla \varphi \cdot \nabla v \, d\Omega = \int_{\text{магнит}} \mathbf{M} \cdot \nabla v \, d\Omega$.