Аналитическое решение для простых геометрий можно получить многими методами; одним из них — так называемым методом Фурье — мы уже пользовались в разделе «Общее аналитическое решение краевой задачи». Мы заранее предполагаем, что решение, ещё до того как оно получено, уже разложено в ряд Фурье — разложения по отдельным координатам при этом считаются взаимно независимыми, — и нам остаётся определить конкретные значения общего решения (2.17$$\begin{split} &T(M, t) =\\ &\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\displaystyle \Psi_n(M)}{\displaystyle \|\Psi_n(M)\|^2} \cdot e^{- a^2 \cdot \gamma_n^2 \cdot t} \cdot \iiint_G \rho(M) \cdot T_0(M) \cdot \Psi_n(M) \,dG +\\ &\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\displaystyle \Psi_n(M)}{\displaystyle \|\Psi_n(M)\|^2} \cdot \int_0^t e^{- a^2 \cdot \gamma_n^2 \cdot (t - \tau)} \cdot \iiint_G \rho(M) \cdot f(M, \tau) \cdot \Psi_n(M) \,dG \,d\tau. \end{split}$$). Разница в том, что в методе Фурье мы разбиваем решение, но не разбиваем геометрию — поэтому аналитическое решение возможно лишь для ограниченного набора геометрий, — а в МКЭ мы разбиваем саму геометрию на простые элементы, которые обычно называют симплексами. Решение на этих элементах приближается так называемыми пробными функциями.

Итак, разобьём пространство $M$ на подпространства-симплексы $\sigma_h$, которые полностью покрывают исходное пространство. В каждом подпространстве будет существовать своё решение $\upsilon_h = T(\sigma_h)$ — сужение искомого решения на симплекс, а совокупность таких решений и будет решением краевой задачи. Далее поговорим о симплексах.