Электрическое поле трёхфазного кабеля 2D

Рассмотрим поперечное сечение трёхжильного кабеля. Внутри заземлённой металлической оболочки (на ней потенциал $\varphi$​${} = 0$) расположены три токопроводящие жилы — фазы A, B и C, симметрично через 120°. Между жилами и оболочкой — диэлектрик без свободных зарядов, поэтому потенциал электростатического поля удовлетворяет уравнению Лапласа, а каждая жила является эквипотенциалью с мгновенным фазным напряжением (условие Дирихле):

Здесь $\Omega$ — диэлектрик (область между жилами и оболочкой), $\Gamma_k$ — границы жил, $\partial \Omega$ — внутренняя поверхность оболочки. Напряжения на жилах образуют симметричную трёхфазную систему. Для сети с линейным напряжением 380 В фазное действующее равно 220 В, то есть амплитуда $U_m$​${} = 220\sqrt{2}$​${} \approx 311\ \text{В}$:

Поскольку $V_A$​${} + V_B$​${} + V_C$​${} = 0$, картина поля непрерывно перетекает, оставаясь симметричной. Задачу (7.4$\displaystyle \dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}$​$\displaystyle {} + \dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}$​$\displaystyle {} = 0,$$\displaystyle (x, y)$ $\displaystyle {} \in \Omega,$$\displaystyle \varphi\big|_{\Gamma_k}$ $\displaystyle {} = V_k(t),$​$\displaystyle k$​$\displaystyle {} = A, B, C,$$\displaystyle \varphi\big|_{\partial \Omega}$ $\displaystyle {} = 0.$) решаем численно методом конечных элементов на треугольной сетке: слабая форма $\int_\Omega \nabla \varphi \cdot \nabla v \, d\Omega$​${} = 0$ при заданных значениях φ на жилах и оболочке. Для каждого мгновения θ — своя правая часть (свои отношения потенциалов), поэтому ниже последовательно решается серия краевых задач, имитирующая ход синусоид.