Тепловое поле 3D, Дирихле

Пример: нагрев шара источниками

Рассмотрим трёхмерный нестационарный пример. Возьмём шар Ω={ r:∣r∣≤R }\Omega = \{\, \mathbf{r} : |\mathbf{r}| \le R \,\} с температуропроводностью a2=0,3a^2 = 0{,}3. Поверхность шара поддерживается при нулевой температуре (условие Дирихле), а внутри симметрично размещены шесть точечных источников тепла f(r)=∑k=16Pk δ(r−rk)f(\mathbf{r}) = \sum_{k=1}^{6} P_k \, \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}_k) (в вершинах октаэдра). В начальный момент шар холодный; со временем источники прогревают его, а через холодную поверхность тепло уходит, и решение выходит на установившийся профиль. Постановка задачи

{∂T∂t=a2(∂2T∂x2+∂2T∂y2+∂2T∂z2)+∑k=16Pk δ(r−rk),r∈Ω,T(r,0)=0,T∣∂Ω=0.\begin{cases} \dfrac{\partial T}{\partial t} = a^2 \left( \dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 T}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 T}{\partial z^2} \right) + \sum_{k=1}^{6} P_k \, \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}_k), & \mathbf{r} \in \Omega,\\[2mm] T(\mathbf{r}, 0) = 0,\\[1mm] T|_{\partial \Omega} = 0. \end{cases}
(7.35)
Рис. 7.5. Трёхмерная нестационарная задача Дирихле: нагрев шара шестью внутренними источниками. Цветом показана температура T(r,t)T(\mathbf{r}, t); шар вращается мышью, ползунок «сечение» разрезает его плоскостью — видно, как он прогревается изнутри.
Электрическое поле трёхфазного кабеля 2DA. Ряды Фурье