Тепловое поле 3D, Дирихле

Пример: нагрев шара источниками

Рассмотрим трёхмерный нестационарный пример. Возьмём шар Ω\Omega​={ r:∣r∣{} = \{\, \mathbf{r} : |\mathbf{r}|​≤R }{} \le R \,\} с температуропроводностью a2a^2​=0,3{} = 0{,}3. Поверхность шара поддерживается при нулевой температуре (условие Дирихле), а внутри симметрично размещены шесть точечных источников тепла f(r)f(\mathbf{r})​=∑k=16Pk δ(r−rk){} = \sum_{k=1}^{6} P_k \, \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}_k) (в вершинах октаэдра). В начальный момент шар холодный; со временем источники прогревают его, а через холодную поверхность тепло уходит, и решение выходит на установившийся профиль. Постановка задачи

∂T∂t\displaystyle \dfrac{\partial T}{\partial t} =a2(∂2T∂x2+∂2T∂y2+∂2T∂z2)\displaystyle {} = a^2 \left( \dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 T}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 T}{\partial z^2} \right)​+∑k=16Pk δ(r−rk),\displaystyle {} + \sum_{k=1}^{6} P_k \, \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}_k),r\displaystyle \mathbf{r} ∈Ω,\displaystyle {} \in \Omega,T(r,0)\displaystyle T(\mathbf{r}, 0) =0,\displaystyle {} = 0,T∣∂Ω\displaystyle T|_{\partial \Omega} =0.\displaystyle {} = 0.
(7.6)
Рис. 7.5. Трёхмерная нестационарная задача Дирихле: нагрев шара шестью внутренними источниками. Цветом показана температура T(r,t)T(\mathbf{r}, t).