Вычислим матрицу жёсткости для одномерного случая. В одномерном пространстве градиент имеет вид $\nabla \upsilon = \frac{\displaystyle \partial \upsilon}{\displaystyle \partial x}$, а скалярное произведение градиентов соответственно $\nabla \upsilon \cdot \nabla \upsilon = \left( \frac{\displaystyle \partial \upsilon}{\displaystyle \partial x} \right)^2$. Учитывая, что область $M$ представляет собой координатную ось, сегментированную на симплексы-отрезки, исследуемую часть функционала для одного отрезка $(x_i, x_{i+1})$ можно записать как

В общем случае пробная функция $\upsilon(x) = \sum_{i=1}^N \upsilon_i(x)$, тогда как на симплексе она имеет вид $\upsilon_{(i)(i+1)}(x) = q_i \cdot \phi_i(x) + q_{i+1} \cdot \phi_{i+1}(x)$. Примем во внимание (5.7$$\begin{cases} a_{i-1} + b_{i-1} \cdot x_{i-1} = 1\\ a_{i-1} + b_{i-1} \cdot x_i = 0 \end{cases} \begin{cases} a_{i} + b_{i} \cdot x_{i-1} = 0\\ a_{i} + b_{i} \cdot x_i = 1 \end{cases}$$) и (5.8$$\begin{cases} a_{i-1} = \frac{\displaystyle -x_i}{\displaystyle x_{i-1} - x_i}\\ b_{i-1} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x_{i-1} - x_i} \end{cases} \begin{cases} a_{i} = \frac{\displaystyle x_{i-1}}{\displaystyle x_{i-1} - x_i}\\ b_{i} = \frac{\displaystyle -1}{\displaystyle x_{i-1} - x_i} \end{cases}$$) из раздела о функциях <<крышек>> и запишем соотношения для функций <<крышек>>

Вычислим частную производную пробной функции

Заметим, что производная не зависит от $x$ и является константой на отрезке. Подставим (6.3$$\frac{\displaystyle \partial \upsilon_{(i)(i+1)}(x)}{\displaystyle \partial x} = q_i \cdot b_i + q_{i+1} \cdot b_{i+1}$$) в (6.1$$\int_{x_i}^{x_{i+1}} \left( \frac{\displaystyle \partial \upsilon}{\displaystyle \partial x} \right)^2 \,dx.$$)

где $L$ — длина отрезка, которая вычисляется по формуле

Раскроем квадрат и перегруппируем члены

Примем во внимание формулы из (5.8$$\begin{cases} a_{i-1} = \frac{\displaystyle -x_i}{\displaystyle x_{i-1} - x_i}\\ b_{i-1} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x_{i-1} - x_i} \end{cases} \begin{cases} a_{i} = \frac{\displaystyle x_{i-1}}{\displaystyle x_{i-1} - x_i}\\ b_{i} = \frac{\displaystyle -1}{\displaystyle x_{i-1} - x_i} \end{cases}$$) для коэффициентов $b$ и введём обозначения для элементов локальной матрицы жёсткости отрезка

Таким образом, локальная матрица жёсткости для одномерного элемента имеет вид

Глобальная матрица жёсткости $\mathbf{K}$ получается путём суммирования вкладов от всех отрезков сетки методом сборки: элементы локальных матриц добавляются к соответствующим элементам глобальной матрицы согласно глобальной нумерации узлов. Размерность глобальной матрицы жёсткости равна $N \times N$, где $N$ — общее количество узлов сетки.