D. Норма функции Бесселя (Нейман)

Для вычисления нормы решения уравнения для геометрии необходимо вычислить норму функции Бесселя, которая определяется следующим образом

∫0μr⋅Jm2(r) dr,\int_0^{\mu} r \cdot J_m^2(r) \,dr,
(D.1)

где μ\mu — одно из решений уравнения dJm(r)dr∣r=μ\frac{\displaystyle d J_m(r)}{\displaystyle dr} \bigg|_{r=\mu}​=0{} = 0.

Из формулы (C.4) при rr​=μ{} = \mu, где Jm′(μ)J_m'(\mu)​=0{} = 0, получаем соотношение m⋅Jm(μ)m \cdot J_m(\mu)​=μ⋅Jm+1(μ){} = \mu \cdot J_{m+1}(\mu), которое используется ниже.

Попробуем вычислить норму (D.1) интегрированием по частям:

∫0μr⋅Jm2(r) dr\displaystyle \int_0^{\mu} r \cdot J_m^2(r) \,dr =∣u=r−m⋅Jm(r),v=rm+1⋅Jm+1(r)du=−m⋅r−m−1⋅Jm(r) dr+r−m−1⋅[m⋅Jm(r)−r⋅Jm+1(r)] drdv=rm+1⋅Jm(r) dr∣\displaystyle {} = \left | \begin{array}{l} u = r^{-m} \cdot J_m(r), \quad v = r^{m+1} \cdot J_{m+1}(r)\\ du = -m \cdot r^{-m-1} \cdot J_m(r) \,dr + r^{-m-1} \cdot \left[ m \cdot J_m(r) - r \cdot J_{m+1}(r) \right] \,dr\\ dv = r^{m+1} \cdot J_m(r) \,dr \end{array} \right |

Граничный член, в отличие от случая Дирихле, не обращается в нуль:

r⋅Jm(r)⋅Jm+1(r)∣0μ\displaystyle r \cdot J_m(r) \cdot J_{m+1}(r) \bigg|_0^{\mu} =μ⋅Jm(μ)⋅Jm+1(μ)\displaystyle {} = \mu \cdot J_m(\mu) \cdot J_{m+1}(\mu)​=m⋅Jm2(μ).\displaystyle {} = m \cdot J_m^2(\mu).
∫0μr⋅Jm2(r) dr\displaystyle \int_0^{\mu} r \cdot J_m^2(r) \,dr =m⋅Jm2(μ)\displaystyle {} = m \cdot J_m^2(\mu)​+∫0μr⋅Jm+12(r) dr.\displaystyle {} + \int_0^{\mu} r \cdot J_{m+1}^2(r) \,dr.

Полученный интеграл также возьмём по частям:

∫0μr⋅Jm+12(r) dr\displaystyle \int_0^{\mu} r \cdot J_{m+1}^2(r) \,dr =∣u=Jm+12(r),du=2⋅Jm+1(r)⋅1r⋅[−(m+1)⋅Jm+1(r)+r⋅Jm(r)] drdv=r dr,v=r2/2∣\displaystyle {} = \left | \begin{array}{ll} u = J_{m+1}^2(r), &du = 2 \cdot J_{m+1}(r) \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r} \cdot \left[ - (m+1) \cdot J_{m+1}(r) + r \cdot J_m(r) \right] \,dr\\ dv = r \,dr, &v = r^2 / 2 \end{array} \right |
∫0μr⋅Jm+12(r) dr\displaystyle \int_0^{\mu} r \cdot J_{m+1}^2(r) \,dr =m22⋅Jm2(μ)\displaystyle {} = \frac{\displaystyle m^2}{\displaystyle 2} \cdot J_m^2(\mu)​+(m+1)⋅∫0μr⋅Jm+12(r) dr\displaystyle {} + (m+1) \cdot \int_0^{\mu} r \cdot J_{m+1}^2(r) \,dr​−∫0μr2\displaystyle {} - \int_0^{\mu} r^2​⋅Jm(r)\displaystyle {} \cdot J_m(r)​⋅Jm+1(r) dr.\displaystyle {} \cdot J_{m+1}(r) \,dr.

Последний интеграл возьмём по частям:

∫0μr2⋅Jm(r)⋅Jm+1(r) dr\displaystyle \int_0^{\mu} r^2 \cdot J_m(r) \cdot J_{m+1}(r) \,dr =∣u=rm+2⋅Jm(r),v=−r−m⋅Jm(r)du=(m+2)⋅rm+1⋅Jm(r)+rm+1⋅[m⋅Jm(r)−r⋅Jm+1(r)] drdv=r−m⋅Jm+1(r) dr∣\displaystyle {} = \left | \begin{array}{l} u = r^{m+2} \cdot J_m(r), \quad v = - r^{-m} \cdot J_m(r)\\ du = (m+2) \cdot r^{m+1} \cdot J_m(r) + r^{m+1} \cdot \left[ m \cdot J_m(r) - r \cdot J_{m+1}(r) \right] \,dr\\ dv = r^{-m} \cdot J_{m+1}(r) \,dr \end{array} \right |
u⋅v∣0μ\displaystyle u \cdot v \bigg|_0^{\mu} =−r2⋅Jm2(r)∣0μ\displaystyle {} = - r^2 \cdot J_m^2(r) \bigg|_0^{\mu}​=−μ2⋅Jm2(μ),\displaystyle {} = - \mu^2 \cdot J_m^2(\mu),
du⋅v\displaystyle du \cdot v =−2⋅(m+1)⋅r⋅Jm2(r)\displaystyle {} = - 2 \cdot (m+1) \cdot r \cdot J_m^2(r)​+r2⋅Jm(r)⋅Jm+1(r),\displaystyle {} + r^2 \cdot J_m(r) \cdot J_{m+1}(r),
∫0μr2⋅Jm(r)⋅Jm+1(r) dr\displaystyle \int_0^{\mu} r^2 \cdot J_m(r) \cdot J_{m+1}(r) \,dr =−μ2⋅Jm2(μ)\displaystyle {} = - \mu^2 \cdot J_m^2(\mu)​+2⋅(m+1)⋅∫0μr⋅Jm2(r) dr\displaystyle {} + 2 \cdot (m+1) \cdot \int_0^{\mu} r \cdot J_m^2(r) \,dr​−∫0μr2\displaystyle {} - \int_0^{\mu} r^2​⋅Jm(r)\displaystyle {} \cdot J_m(r)​⋅Jm+1(r) dr,\displaystyle {} \cdot J_{m+1}(r) \,dr,
∫0μr2⋅Jm(r)⋅Jm+1(r) dr\displaystyle \int_0^{\mu} r^2 \cdot J_m(r) \cdot J_{m+1}(r) \,dr =−μ22⋅Jm2(μ)\displaystyle {} = - \frac{\displaystyle \mu^2}{\displaystyle 2} \cdot J_m^2(\mu)​+(m+1)⋅∫0μr⋅Jm2(r) dr.\displaystyle {} + (m+1) \cdot \int_0^{\mu} r \cdot J_m^2(r) \,dr.

Подставляя найденные равенства последовательно одно в другое, выражаем норму:

∫0μr⋅Jm+12(r) dr\displaystyle \int_0^{\mu} r \cdot J_{m+1}^2(r) \,dr =1m\displaystyle {} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle m}​⋅∫0μr2\displaystyle {} \cdot \int_0^{\mu} r^2​⋅Jm(r)\displaystyle {} \cdot J_m(r)​⋅Jm+1(r) dr\displaystyle {} \cdot J_{m+1}(r) \,dr​−m2⋅Jm2(μ),\displaystyle {} - \frac{\displaystyle m}{\displaystyle 2} \cdot J_m^2(\mu),
∫0μr⋅Jm2(r) dr\displaystyle \int_0^{\mu} r \cdot J_m^2(r) \,dr =m⋅Jm2(μ)\displaystyle {} = m \cdot J_m^2(\mu)​+1m\displaystyle {} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle m}​⋅∫0μr2\displaystyle {} \cdot \int_0^{\mu} r^2​⋅Jm(r)\displaystyle {} \cdot J_m(r)​⋅Jm+1(r) dr\displaystyle {} \cdot J_{m+1}(r) \,dr​−m2⋅Jm2(μ),\displaystyle {} - \frac{\displaystyle m}{\displaystyle 2} \cdot J_m^2(\mu),
∫0μr⋅Jm2(r) dr\displaystyle \int_0^{\mu} r \cdot J_m^2(r) \,dr =m2⋅Jm2(μ)\displaystyle {} = \frac{\displaystyle m}{\displaystyle 2} \cdot J_m^2(\mu)​+1m\displaystyle {} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle m}​⋅∫0μr2\displaystyle {} \cdot \int_0^{\mu} r^2​⋅Jm(r)\displaystyle {} \cdot J_m(r)​⋅Jm+1(r) dr,\displaystyle {} \cdot J_{m+1}(r) \,dr,
∫0μr⋅Jm2(r) dr\displaystyle \int_0^{\mu} r \cdot J_m^2(r) \,dr =m2⋅Jm2(μ)\displaystyle {} = \frac{\displaystyle m}{\displaystyle 2} \cdot J_m^2(\mu)​−μ22⋅m⋅Jm2(μ)\displaystyle {} - \frac{\displaystyle \mu^2}{\displaystyle 2 \cdot m} \cdot J_m^2(\mu)​+m+1m⋅∫0μr⋅Jm2(r) dr,\displaystyle {} + \frac{\displaystyle m+1}{\displaystyle m} \cdot \int_0^{\mu} r \cdot J_m^2(r) \,dr,
1m⋅∫0μr⋅Jm2(r) dr\displaystyle \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle m} \cdot \int_0^{\mu} r \cdot J_m^2(r) \,dr =−m2⋅Jm2(μ)\displaystyle {} = - \frac{\displaystyle m}{\displaystyle 2} \cdot J_m^2(\mu)​+μ22⋅m⋅Jm2(μ).\displaystyle {} + \frac{\displaystyle \mu^2}{\displaystyle 2 \cdot m} \cdot J_m^2(\mu).

В итоге получаем:

∫0μr⋅Jm2(r) dr\displaystyle \int_0^{\mu} r \cdot J_m^2(r) \,dr =(μ2−m2)⋅Jm2(μ)2.\displaystyle {} = \left( \mu^2 - m^2 \right) \cdot \frac{\displaystyle J_m^2(\mu)}{\displaystyle 2}.
(D.2)