Пробные функции

Функция, которая описывает поведение на симплексе, называется пробной, вероятно потому, что на заре развития метода, ввиду слабости вычислительной техники, приходилось пробовать и подбирать функции, которые бы аппроксимировали решение. Существует огромное количество пробных функций, можно использовать и тригонометрические даже, но на практике распространение получили полиномиальные функции, что как бы намекает на разложение решения в ряд Тейлора, по аналогии с разложением в ряд Фурье, за тем лишь исключением, что разложение в ряд Тейлора мы осуществляем не на всей геометрии, а только лишь на симплексах, что позволяет нам использовать максимально простые полиномы. Выбирались, как правило, полиномы 3-й степени, с 9-10 коэффициентами, и это требовало добавления дополнительных точек на симплекс, чтобы эти коэффициенты определить, что приводило к 9-10 СЛАУ на каждом симплексе, но решать их нужно было всего один раз, что с точки зрения вычислительной не проблема даже по тем временам. Конечно, это здравый подход, но я решил «попробовать» построить решение с помощью максимально простых полиномов, а именно полиномов вида:

где $n$ — количество узлов, $q_i$ — коэффициенты, $\phi_i(x, y, z)$ — так называемые функции «крышки», которые равны 1 на узле симплекса и нулю в остальных узлах геометрии, и как раз-таки за счёт того, что функции «крышки» представляют из себя полиномы, пробные функции будут тоже полиномами.

где $i$ — номер узла, а не степень, $a_{i}, b_{i}, c_{i}, d_{i}$ — коэффициенты, зависящие от геометрии конкретного узла $i$ на симплексе. После того, как геометрия будет разбита на симплексы, нужно будет их один раз вычислить для каждого узла симплекса. Функцию «крышку» я записал для трёхмерной системы координат, но дальше будем работать с двумерной или одномерной так же.

Давайте подробнее поговорим про функции «крышки» и начнём с одномерного случая.

На рисунке Функции «крышки» для симплексов-отрезков приведено пять функций «крышек» $\phi_0, …, \phi_4$ и четыре симплекса: в общей сложности для одномерного пространства на $n$ точек приходится $n$ функций «крышек» и $n$​${} - 1$ симплексов соответственно. На краях, в узлах $x_0$ и $x_4$, функции имеют вид половинок «крышек». Примем $i$​${} = 3$, тогда симплекс между точками $x_{i-1}$ и $x_i$ (на рисунке он выделен заливкой и ограничен пунктирными линиями) определяется следующим образом: $\upsilon_{i-1}(x)$​${} = q_{i-1} \cdot \phi_{i-1}(x)$​${} + q_i \cdot \phi_i(x)$ за счёт того, что остальные функции «крышки» не оказывают влияния на него ввиду того, что принимают нулевое значение на интервале $(x_{i-1}, x_i)$. Функция $\phi_{i-1}(x)$ проходит через точки $(x_{i-1}, 1)$ и $(x_i, 0)$, а функция $\phi_i(x)$ через точки $(x_{i-1}, 0)$ и $(x_i, 1)$. Тогда справедливо

Решение систем соответственно

Если для одномерных симплексов функции «крышки» имеют вид линий на плоскости, то для двумерных симплексов уже будут поверхности в трёхмерном пространстве.

Мы взяли все три точки треугольника $t_2$ с рисунка Симплексы-треугольники и построили три пирамиды, вершинами которых являются «поднятые» на величину 1 вершины исходного треугольника, а основаниями пирамид являются многоугольники с того же рисунка, содержащие внутри себя вершины треугольника. Так как нашему исследованию подвергается треугольник $t_2$ и мы планируем записывать пробную функцию для него, отбросим лишние части и перестроим рисунок, оставив только плоскости, проецируемые на треугольник.

На рисунке Части функций «крышек» для симплекса-треугольника для двумерного пространства, как и для одномерного, каждому из $n$ узлов сетки соответствует ровно одна функция «крышка», так что всего их $n$; число же симплексов-треугольников зависит от конкретной триангуляции. Заметим также, что в пределах одного треугольника отличны от нуля ровно три функции «крышки» — по числу его вершин. Обозначим точки симплекса через $(x_i, y_i), (x_{i+1}, y_{i+1}), (x_{i+2}, y_{i+2})$. В итоге пробная функция примет вид $\upsilon_i(x, y)$​${} = q_i \cdot \phi_i(x, y)$​${} + q_{i+1} \cdot \phi_{i+1}(x, y)$​${} + q_{i+2} \cdot \phi_{i+2}(x, y)$. Для определения постоянных $a_{i},b_{i},c_{i}$, $a_{i+1},b_{i+1},c_{i+1}$, $a_{i+2},b_{i+2},c_{i+2}$ примем во внимание, что координата $z$ отлична от нуля только на вершинах пирамид, в итоге получим три системы уравнений

Решение уравнений будет соответственно

где $\det$​${} = x_i \cdot y_{i+1}$​${} - x_i \cdot y_{i+2}$​${} - x_{i+1} \cdot y_i$​${} + x_{i+1} \cdot y_{i+2}$​${} + x_{i+2} \cdot y_i$​${} - x_{i+2} \cdot y_{i+1}$ — определитель матрицы.

Сложность работы с трёхмерной системой координат заключается в том, что решение сложно визуализировать, как и функции «крышки», поэтому обойдёмся только формулами. Вообще, в данном руководстве основной акцент будет делаться на двумерные краевые задачи, так как они лишены тривиальности, в отличие от одномерных, и в то же время хорошо визуализируются. Итак, в трёхмерном пространстве тетраэдр служит основанием четырёхмерного пентахорона «крышки». По аналогии с формулами выше смеем предположить, что функция «крышка» будет иметь значение 1 в одной из точек тетраэдра, поднятой в четырёхмерное пространство перпендикулярно основанию, и будет нулём в остальных точках тетраэдризации, при этом пробная функция будет иметь вид $\upsilon_h(x, y, z)$​${} = q_1 \cdot \phi_1(x, y, z)$​${} + q_2 \cdot \phi_2(x, y, z)$​${} + q_3 \cdot \phi_3(x, y, z)$​${} + q_4 \cdot \phi_4(x, y, z)$. Для определения постоянных $a_{i},b_{i},c_{i},d_{i}$, $a_{i+1},b_{i+1},c_{i+1},d_{i+1}$, $a_{i+2},b_{i+2},c_{i+2},d_{i+2}$, $a_{i+3},b_{i+3},c_{i+3},d_{i+3}$ примем во внимание, что координата $\mu$ четвёртого измерения отлична от нуля только на вершинах пентахоронов, в итоге получим четыре системы уравнений

Решение уравнений будет соответственно

где определитель матрицы: