Уравнение

Руководство посвящено тепловым полям, которые в общем случае являются нестационарными. Давайте рассмотрим малый объём dVdV внутри тела с границей SS и внешней единичной нормалью n→\overrightarrow{n} (рисунок 1.1). Идея проста: количество теплоты, накопленное в объёме за единицу времени, равно притоку теплоты через его границу плюс теплоте, выделившейся внутри за счёт внутренних источников. Это уравнение называется уравнением баланса энергии и следует из закона сохранения энергии. Через границу может быть не только приток теплоты, но и отток, что математически описывается как отрицательный приток, аналогично со внутренними источниками, которые могут быть потребителями.

Малый объём тела с границей, внешней нормалью и тепловым потоком
Рис. 1.1. Баланс энергии в малом объёме dVdV: тепловой поток q→\overrightarrow{q} через границу SS и внутренние источники тепла.

Известна формула тепловой энергии dQdQ =c⋅dm⋅T= c \cdot dm \cdot T, где dQdQ — тепловая энергия малого объёма [Дж][\text{Дж}], cc — удельная теплоёмкость [Дж/(кг⋅К)][\text{Дж}/(\text{кг} \cdot \text{К})], dmdm — масса малого объёма [кг][\text{кг}], TT — температура [К][\text{К}]. Массу малого объёма dVdV можно записать через плотность ρ\rho [кг/м3][\text{кг}/\text{м}^3] и сам объём dVdV [м3][\text{м}^3]: dmdm =ρ⋅dV= \rho \cdot dV. Тогда энергия, накопленная в этом малом объёме, равна dQdQ =c⋅ρ⋅T⋅dV= c \cdot \rho \cdot T \cdot dV. Скорость изменения тепловой энергии объёма VV равна

∂∂t∫Vc⋅ρ⋅T dV\displaystyle \frac{\partial}{\partial t} \int_V c \cdot \rho \cdot T \, dV =∫Vc⋅ρ⋅∂T∂t dV.\displaystyle = \int_V c \cdot \rho \cdot \frac{\partial T}{\partial t} \, dV.
(1.1)

Теперь опишем перенос тепла. Закон Фурье утверждает, что плотность теплового потока q→\overrightarrow{q} [Вт/м2][\text{Вт}/\text{м}^2] пропорциональна градиенту температуры и направлена против него — тепло течёт из горячих областей в холодные:

q→\displaystyle \overrightarrow{q} =−k ∇T,\displaystyle = -k \, \nabla T,
(1.2)

где kk — коэффициент теплопроводности [Вт/(м⋅К)][\text{Вт}/(\text{м} \cdot \text{К})]. Знак минус как раз и отражает то, что поток направлен в сторону убывания температуры.

Соберём баланс энергии. Скорость изменения энергии объёма равна притоку теплоты через границу (поток внутрь — это −q→⋅n→-\overrightarrow{q} \cdot \overrightarrow{n}, так как n→\overrightarrow{n} внешняя) плюс мощности внутренних источников с объёмной плотностью FF [Вт/м3][\text{Вт}/\text{м}^3]:

∫Vc⋅ρ⋅∂T∂t dV\displaystyle \int_V c \cdot \rho \cdot \frac{\partial T}{\partial t} \, dV =−∮Sq→⋅n→ dS\displaystyle = -\oint_S \overrightarrow{q} \cdot \overrightarrow{n} \, dS +∫VF dV.\displaystyle + \int_V F \, dV.
(1.3)

Поверхностный интеграл неудобен — избавимся от него по теореме Остроградского-Гаусса, превратив поток через границу в интеграл от дивергенции по объёму:

∮Sq→⋅n→ dS\displaystyle \oint_S \overrightarrow{q} \cdot \overrightarrow{n} \, dS =∫Vdiv⁡q→ dV.\displaystyle = \int_V \operatorname{div} \overrightarrow{q} \, dV.
(1.4)

Подставив (1.4) в (1.3) и собрав всё под один интеграл, получим

∫V(c⋅ρ⋅∂T∂t+div⁡q→−F)dV\displaystyle \int_V \left( c \cdot \rho \cdot \frac{\partial T}{\partial t} + \operatorname{div} \overrightarrow{q} - F \right) dV =0.\displaystyle = 0.
(1.5)

Объём VV мы выбирали произвольно, а интеграл по любому такому объёму равен нулю — значит, нулю равно и само подынтегральное выражение. Подставив сюда закон Фурье (1.2), приходим к уравнению в дифференциальной форме:

c⋅ρ⋅∂T∂t\displaystyle c \cdot \rho \cdot \frac{\partial T}{\partial t} =div⁡ ⁣(k⋅∇T)\displaystyle = \operatorname{div}\!\left( k \cdot \nabla T \right) +F.\displaystyle + F.
(1.6)

Осталось воспользоваться сделанным выше предположением. Среда однородна и изотропна, поэтому коэффициент теплопроводности kk одинаков во всех точках и по всем направлениям — его можно вынести за знак дивергенции, а div⁡∇\operatorname{div} \nabla ≡Δ\equiv \Delta есть оператор Лапласа:

c⋅ρ⋅∂T∂t\displaystyle c \cdot \rho \cdot \frac{\partial T}{\partial t} =k⋅ΔT\displaystyle = k \cdot \Delta T +F.\displaystyle + F.
(1.7)

Разделив обе части на c⋅ρc \cdot \rho и обозначив a2a^2 =kc⋅ρ= \dfrac{k}{c \cdot \rho} — коэффициент температуропроводности [м2/с][\text{м}^2/\text{с}] — и ff =Fc⋅ρ= \dfrac{F}{c \cdot \rho} — приведённую плотность источников [К/с][\text{К}/\text{с}], окончательно получаем уравнение теплопроводности:

∂T(M,t)∂t\displaystyle \frac{\partial T(M, t)}{\partial t} =a2⋅ΔT(M,t)\displaystyle = a^2 \cdot \Delta T(M, t) +f(M,t),\displaystyle + f(M, t),
(1.8)

где a2a^2 — коэффициент температуропроводности, Δ\Delta — оператор Лапласа, MM — геометрия, tt — время [с][\text{с}], T(M,t)T(M, t) — искомое решение — температурное поле [К][\text{К}], f(M,t)f(M, t) — функция плотности тепловых источников внутри тела [К/с][\text{К}/\text{с}].

Уравнение (1.8) является неоднородным уравнением, так как в правой части присутствует функция плотности тепловых источников f(M,t)f(M, t). Соответствующее однородное уравнение имеет вид

∂T(M,t)∂t\displaystyle \frac{\partial T(M, t)}{\partial t} =a2⋅ΔT(M,t).\displaystyle = a^2 \cdot \Delta T(M, t).
(1.9)

Важность однородного уравнения проявится в дальнейшем, когда мы будем получать общее решение методом разделения переменных Фурье.

Для тестовых задач будем рассматривать следующие системы координат и операторы Лапласа.

В одномерном случае используется декартова система координат MM ≡x\equiv x:

Δ\displaystyle \Delta ≡∂2∂x2.\displaystyle \equiv \frac{\partial^2}{\partial x^2}.
(1.10)

В двумерном случае используется полярная система координат MM ≡(r,θ)\equiv (r, \theta):

Δ\displaystyle \Delta ≡∂2∂r2\displaystyle \equiv \frac{\partial^2}{\partial r^2} +1r⋅∂∂r\displaystyle + \frac{1}{r} \cdot \frac{\partial}{\partial r} +1r2⋅∂2∂θ2.\displaystyle + \frac{1}{r^2} \cdot \frac{\partial^2}{\partial \theta^2}.
(1.11)

В трёхмерном случае используется сферическая система координат MM ≡(r,θ,ϕ)\equiv (r, \theta, \phi):

Δ\displaystyle \Delta ≡∂2∂r2\displaystyle \equiv \frac{\partial^2}{\partial r^2} +2r⋅∂∂r\displaystyle + \frac{2}{r} \cdot \frac{\partial}{\partial r} +1r2sin⁡θ⋅∂∂θ ⁣(sin⁡θ⋅∂∂θ)\displaystyle + \frac{1}{r^2 \sin\theta} \cdot \frac{\partial}{\partial\theta} \!\left(\sin\theta \cdot \frac{\partial}{\partial\theta}\right) +1r2sin⁡2 ⁣θ⋅∂2∂ϕ2.\displaystyle + \frac{1}{r^2 \sin^2\!\theta} \cdot \frac{\partial^2}{\partial\phi^2}.
(1.12)