Руководство посвящено тепловым полям, которые в общем случае являются нестационарными. Давайте рассмотрим малый объём $dV$ внутри тела с границей $S$ и внешней единичной нормалью $\vec{n}$ (рисунок 1.1). Идея проста: количество теплоты, накопленное в объёме за единицу времени, равно притоку теплоты через его границу плюс теплоте, выделившейся внутри за счёт внутренних источников. Это уравнение называется уравнением баланса энергии и следует из закона сохранения энергии. Через границу может быть не только приток теплоты, но и отток, что математически описывается как отрицательный приток, аналогично со внутренними источниками, которые могут быть потребителями.

Известна формула тепловой энергии $dQ = c \cdot dm \cdot T$, где $dQ$ — тепловая энергия малого объёма $[\text{Дж}]$, $c$ — удельная теплоёмкость $[\text{Дж}/(\text{кг} \cdot \text{К})]$, $dm$ — масса малого объёма $[\text{кг}]$, $T$ — температура $[\text{К}]$. Массу малого объёма $dV$ можно записать через плотность $\rho$ $[\text{кг}/\text{м}^3]$ и сам объём $dV$ $[\text{м}^3]$: $dm = \rho \cdot dV$. Тогда энергия, накопленная в этом малом объёме, равна $dQ = c \cdot \rho \cdot T \cdot dV$. Скорость изменения тепловой энергии объёма $V$ равна

Теперь опишем перенос тепла. Закон Фурье утверждает, что плотность теплового потока $\vec{q}$ $[\text{Вт}/\text{м}^2]$ пропорциональна градиенту температуры и направлена против него — тепло течёт из горячих областей в холодные:

где $k$ — коэффициент теплопроводности $[\text{Вт}/(\text{м} \cdot \text{К})]$. Знак минус как раз и отражает то, что поток направлен в сторону убывания температуры.

Соберём баланс энергии. Скорость изменения энергии объёма равна притоку теплоты через границу (поток внутрь — это $-\vec{q} \cdot \vec{n}$, так как $\vec{n}$ внешняя) плюс мощности внутренних источников с объёмной плотностью $F$ $[\text{Вт}/\text{м}^3]$:

Поверхностный интеграл неудобен — избавимся от него по теореме Остроградского-Гаусса, превратив поток через границу в интеграл от дивергенции по объёму:

Подставив (1.4) в (1.3) и собрав всё под один интеграл, получим

Объём $V$ мы выбирали произвольно, а интеграл по любому такому объёму равен нулю — значит, нулю равно и само подынтегральное выражение. Подставив сюда закон Фурье (1.2), приходим к уравнению в дифференциальной форме:

Осталось воспользоваться сделанным выше предположением. Среда однородна и изотропна, поэтому коэффициент теплопроводности $k$ одинаков во всех точках и по всем направлениям — его можно вынести за знак дивергенции, а $\operatorname{div} \nabla \equiv \Delta$ есть оператор Лапласа:

Разделив обе части на $c \cdot \rho$ и обозначив $a^2 = \dfrac{k}{c \cdot \rho}$ — коэффициент температуропроводности $[\text{м}^2/\text{с}]$ — и $f = \dfrac{F}{c \cdot \rho}$ — приведённую плотность источников $[\text{К}/\text{с}]$, окончательно получаем уравнение теплопроводности:

где $a$ — коэффициент температуропроводности, $\Delta$ — оператор Лапласа, $M$ — геометрия, $t$ — время $[\text{с}]$, $T(M, t)$ — искомое решение — температурное поле $[\text{К}]$, $f(M, t)$ — функция плотности тепловых источников внутри тела $[\text{К}/\text{с}]$.

Уравнение (1.8) является неоднородным уравнением, так как в правой части присутствует функция плотности тепловых источников $f(M, t)$. Соответствующее однородное уравнение имеет вид

Важность однородного уравнения проявится в дальнейшем, когда мы будем получать общее решение методом разделения переменных Фурье.

Для тестовых задач будем рассматривать следующие системы координат и операторы Лапласа.

В одномерном случае используется декартова система координат $M \equiv x$:

В двумерном случае используется полярная система координат $M \equiv (r, \theta)$:

В трёхмерном случае используется сферическая система координат $M \equiv (r, \theta, \phi)$: