Тепловое поле 2D, Дирихле

Пример: пластина с источником тепла

Рассмотрим двумерный пример с внутренним источником тепла. Возьмём квадратную пластину Ω=[0,1]×[0,1]\Omega = [0, 1] \times [0, 1] с температуропроводностью a2=0,004a^2 = 0{,}004. Края пластины поддерживаются при нулевой температуре (условие Дирихле), а вблизи углов помещены четыре точечных источника тепла f(x,y)=∑k=14Pk⋅δ(x−xk, y−yk)f(x, y) = \sum_{k=1}^{4} P_k \cdot \delta(x - x_k,\, y - y_k). В начальный момент пластина неравномерно нагрета. Со временем начальное тепло уходит через холодные края, а источники поддерживают горячие области, и решение выходит на установившийся профиль. Постановка задачи

{∂T(x,y,t)∂t=a2⋅(∂2T(x,y,t)∂x2+∂2T(x,y,t)∂y2)+∑k=14Pk⋅δ(x−xk, y−yk),T(x,y,0)=T0(x,y),T∣∂Ω=0.\begin{cases} \frac{\displaystyle \partial T(x, y, t)}{\displaystyle \partial t} = a^2 \cdot \left( \frac{\displaystyle \partial^2 T(x, y, t)}{\displaystyle \partial x^2} + \frac{\displaystyle \partial^2 T(x, y, t)}{\displaystyle \partial y^2} \right) + \sum_{k=1}^{4} P_k \cdot \delta(x - x_k,\, y - y_k),\\ T(x, y, 0) = T_0(x, y),\\ T|_{\partial \Omega} = 0. \end{cases}
(7.2)
Рис. 7.2. Двумерная задача Дирихле с внутренним источником тепла. Цветом показана температура T(x,y,t)T(x, y, t) в каждой точке пластины; справа — шкала температуры.
Тепловое поле 1D, ДирихлеМагнитное поле 2D