Тепловое поле 2D, Дирихле

Пример: пластина с источником тепла

Рассмотрим двумерный пример с внутренним источником тепла. Возьмём квадратную пластину Ω\Omega​=[0,1]×[0,1]{} = [0, 1] \times [0, 1] с температуропроводностью a2a^2​=0,004{} = 0{,}004. Края пластины поддерживаются при нулевой температуре (условие Дирихле), а вблизи углов помещены четыре точечных источника тепла f(x,y)f(x, y)​=∑k=14Pk⋅δ(x−xk, y−yk){} = \sum_{k=1}^{4} P_k \cdot \delta(x - x_k,\, y - y_k). В начальный момент пластина неравномерно нагрета. Со временем начальное тепло уходит через холодные края, а источники поддерживают горячие области, и решение выходит на установившийся профиль. Постановка задачи

∂T(x,y,t)∂t\displaystyle \frac{\displaystyle \partial T(x, y, t)}{\displaystyle \partial t} =a2⋅(∂2T(x,y,t)∂x2\displaystyle {} = a^2 \cdot \biggl( \frac{\displaystyle \partial^2 T(x, y, t)}{\displaystyle \partial x^2}​+∂2T(x,y,t)∂y2)\displaystyle {} + \frac{\displaystyle \partial^2 T(x, y, t)}{\displaystyle \partial y^2} \biggr)​+∑k=14Pk⋅δ(x−xk, y−yk),\displaystyle {} + \sum_{k=1}^{4} P_k \cdot \delta(x - x_k,\, y - y_k),T(x,y,0)\displaystyle T(x, y, 0) =T0(x,y),\displaystyle {} = T_0(x, y),T∣∂Ω\displaystyle T|_{\partial \Omega} =0.\displaystyle {} = 0.
(7.2)
Рис. 7.2. Двумерная задача Дирихле с внутренним источником тепла. Цветом показана температура T(x,y,t)T(x, y, t) в каждой точке пластины; справа — шкала температуры.