Запишем ещё раз функционал для уравнения Эйлера (5.4$$I(\upsilon) = (L[\upsilon], \upsilon) - 2 \cdot (f, \upsilon).$$)

Линейный оператор $L[\upsilon]$ для уравнения параболического типа, интересующего нас, имеет вид

Скалярное произведение $(L[\upsilon], \upsilon)$ имеет вид

Скалярное произведение $(f, \upsilon)$ имеет вид

Известна формула Остроградского для оператора Лапласа

где $S$ — граница подмногообразия $M$, а $dS$ — её векторный элемент, направленный по внешней нормали. Проинтегрируем по частям второй интеграл

Таким образом, исходный функционал можно записать в виде

Дадим приращение $\widehat{\upsilon} + \epsilon \cdot \upsilon$, где $\widehat{\upsilon}$ — точное решение, а $\epsilon$ — некоторое малое число. Полное приращение функционала можно записать в виде

Пренебрегая членами второго порядка малости, пропорциональными $\epsilon^2$, получим

Если вынести $\epsilon$ за скобки и принять во внимание, что $\epsilon$ может быть отрицательным, а вот приращение функционала всегда положительно, так как $\widehat{\upsilon}$ — точное решение, то получим в качестве обязательного условия

Учитывая, что $\widehat{\upsilon} \approx \upsilon$, и сокращая общий множитель, мы возвращаемся к исходному уравнению. Это означает, что численное решение краевой задачи сводится к минимизации функционала

Множитель $2$ при линейном члене $\int_M f \cdot \upsilon dM$ сохраняем сознательно: именно он обеспечивает, что условие минимума $\delta I = 0$ возвращает исходное уравнение, а не уравнение с лишним множителем $1/2$ (при дифференцировании квадратичные члены дают множитель $2$, и линейный член должен иметь такой же).

Перейдём к разделению на стационарную и нестационарную задачи. Принципиально важно проводить это разделение и последующую дискретизацию по времени на уровне уравнения, а не функционала: производная по времени не является самосопряжённым оператором, поэтому прямая подстановка $\upsilon = \psi(M) \cdot \phi(t)$ в функционал привела бы к неверным коэффициентам. Запишем слабую форму уравнения $L[u] = f$, полученную выше интегрированием по частям

которая должна выполняться для произвольной пробной функции $\upsilon$.

Стационарное уравнение с граничными условиями Дирихле и/или Неймана

Если $\frac{\displaystyle \partial u}{\displaystyle \partial t} = 0$, временной член исчезает, и в силу симметрии пространственного оператора слабая форма (I.4$$\int_M \frac{\displaystyle \partial u}{\displaystyle \partial t} \cdot \upsilon \,dM + a^2 \cdot \int_M \nabla u \cdot \nabla \upsilon \,dM - a^2 \cdot \int_S \upsilon \cdot \nabla u \,dS = \int_M f \cdot \upsilon \,dM,$$) эквивалентна минимизации функционала

Нестационарное уравнение с граничными условиями Дирихле и/или Неймана

Производную по времени дискретизируем неявной схемой Эйлера с шагом $\Delta t$, применяя её к слабой форме уравнения: $\frac{\displaystyle \partial u}{\displaystyle \partial t} \approx \frac{\displaystyle u_n - u_{n-1}}{\displaystyle \Delta t}$, где $u_n$ — решение на текущем временном слое, а $u_{n-1}$ — на предыдущем. Подставив это в (I.4$$\int_M \frac{\displaystyle \partial u}{\displaystyle \partial t} \cdot \upsilon \,dM + a^2 \cdot \int_M \nabla u \cdot \nabla \upsilon \,dM - a^2 \cdot \int_S \upsilon \cdot \nabla u \,dS = \int_M f \cdot \upsilon \,dM,$$) и домножив на $\Delta t$, получаем уравнение для шага по времени

Это уравнение, в свою очередь, является условием минимума функционала

Таким образом, нестационарное уравнение сведено к последовательному решению стационарных задач: на каждом шаге по известному $\upsilon_{n-1}$ находится $\upsilon_n$. Минимизация функционалов (I.5$$a^2 \cdot \int_M \nabla \upsilon \cdot \nabla \upsilon \,dM - 2 \cdot \int_M f \cdot \upsilon \,dM - a^2 \cdot \int_S \upsilon \cdot \nabla \upsilon \,dS \rightarrow \min.$$) и (I.6$$\begin{split} &\int_M \upsilon_n^2 \,dM + \Delta t \cdot a^2 \cdot \int_M \nabla \upsilon_n \cdot \nabla \upsilon_n \,dM\\ &- 2 \cdot \int_M \left[ \Delta t \cdot f + \upsilon_{n-1} \right] \cdot \upsilon_n \,dM - \Delta t \cdot a^2 \cdot \int_S \upsilon_n \cdot \nabla \upsilon_n \,dS \rightarrow \min. \end{split}$$) в матричной форме подробно разобрана в приложении «Пояснительные примеры».