Матрица демпфирования 3D

Перейдём к вычислению матрицы демпфирования для трёхмерного случая. Матрица демпфирования связана с интегралом квадрата пробной функции. Рассмотрим интеграл для одного тетраэдра с вершинами

Пробная функция на тетраэдре имеет вид $\upsilon_{(i)(i+3)}(x, y, z)$​${} = q_i \cdot \phi_i$​${} + q_{i+1} \cdot \phi_{i+1}$​${} + q_{i+2} \cdot \phi_{i+2}$​${} + q_{i+3} \cdot \phi_{i+3}$. Аналогично двумерному случаю, функции «крышек» для тетраэдра имеют линейный вид согласно (6.13$\displaystyle \phi_i(x, y, z)$ $\displaystyle {} = a_i$​$\displaystyle {} + b_i \cdot x$​$\displaystyle {} + c_i \cdot y$​$\displaystyle {} + d_i \cdot z$$\displaystyle \phi_{i+1}(x, y, z)$ $\displaystyle {} = a_{i+1}$​$\displaystyle {} + b_{i+1} \cdot x$​$\displaystyle {} + c_{i+1} \cdot y$​$\displaystyle {} + d_{i+1} \cdot z$$\displaystyle \phi_{i+2}(x, y, z)$ $\displaystyle {} = a_{i+2}$​$\displaystyle {} + b_{i+2} \cdot x$​$\displaystyle {} + c_{i+2} \cdot y$​$\displaystyle {} + d_{i+2} \cdot z$$\displaystyle \phi_{i+3}(x, y, z)$ $\displaystyle {} = a_{i+3}$​$\displaystyle {} + b_{i+3} \cdot x$​$\displaystyle {} + c_{i+3} \cdot y$​$\displaystyle {} + d_{i+3} \cdot z$)

Подставим пробную функцию в (6.29$$\int_{\text{тет}} \upsilon^2 \,dV.$$)

Для линейных функций «крышек» на тетраэдре справедливы следующие соотношения

где $V_{\text{тет}}$ — объём тетраэдра, который вычисляется по формуле (6.15$\displaystyle V_{\text{тет}}$ $\displaystyle {} = \frac{\displaystyle |\Delta|}{\displaystyle 6},$).

Раскроем квадрат пробной функции

Применим формулы (6.31$\displaystyle \int_{\text{тет}} \phi_m \cdot \phi_n \,dV$ $\displaystyle {} = \begin{cases} \frac{\displaystyle V_{\text{тет}}}{\displaystyle 10}, & m = n\\ \frac{\displaystyle V_{\text{тет}}}{\displaystyle 20}, & m \neq n \end{cases}$)

Упростим выражение

Введём обозначения для элементов локальной матрицы демпфирования тетраэдра

Таким образом, локальная матрица демпфирования для тетраэдрального элемента имеет вид

Локальная матрица демпфирования является симметричной. Глобальная матрица демпфирования $\mathbf{C}$ получается путём суммирования вкладов от всех тетраэдральных элементов сетки методом сборки: элементы локальных матриц добавляются к соответствующим элементам глобальной матрицы согласно глобальной нумерации узлов. Размерность глобальной матрицы демпфирования равна $N \times N$, где $N$ — общее количество узлов сетки.