Перейдём к вычислению матрицы граничных условий. Эта матрица возникает при работе с неоднородными граничными условиями и связана с интегралом произведения пробной функции на нормальную производную по границе области внутрь области. Рассмотрим интеграл из функционала (I.5$$a^2 \cdot \int_M \nabla \upsilon \cdot \nabla \upsilon \,dM - 2 \cdot \int_M f \cdot \upsilon \,dM - a^2 \cdot \int_S \upsilon \cdot \nabla \upsilon \,dS \rightarrow \min.$$) и (I.6$$\begin{split} &\int_M \upsilon_n^2 \,dM + \Delta t \cdot a^2 \cdot \int_M \nabla \upsilon_n \cdot \nabla \upsilon_n \,dM\\ &- 2 \cdot \int_M \left[ \Delta t \cdot f + \upsilon_{n-1} \right] \cdot \upsilon_n \,dM - \Delta t \cdot a^2 \cdot \int_S \upsilon_n \cdot \nabla \upsilon_n \,dS \rightarrow \min. \end{split}$$)

Рассмотрим последовательно случаи различной размерности.

В одномерном случае область $M$ представляет собой отрезок $[\alpha, \beta]$, а граница $S$ состоит из двух точек: $\alpha$ и $\beta$. Интеграл по границе в одномерном случае превращается в сумму значений в граничных точках

Напомним, что на $n$ симплексов у нас приходится $n + 1$ точек, соответственно, $\alpha = x_0$ и $\beta = x_{n+1}$, а значения функции на границах равны $\upsilon(\alpha) = q_0$ и $\upsilon(\beta) = q_{n+1}$. Получается, что в общем случае после дискретизации уравнения нам приходится решить систему из $n + 1$ уравнений с $n + 1$ неизвестными.

Для правой границы $\beta$ (смежный отрезок $[x_n, x_{n+1}]$) производная равна

Аналогично для левой границы $\alpha$ (смежный отрезок $[x_0, x_1]$)

Доведём вычисления до явного вида матрицы. Ключевое наблюдение: матрица граничных условий одна и та же для любого граничного условия. Назовём её $B$ (общая, common). Мы всегда строим её для всей области с узлами $x_0, \ldots, x_{n+1}$ и вектором $\vec{q} = (q_0, \ldots, q_{n+1})^T$, вычисляем и вычитаем из матрицы жёсткости.

Подставим (6.52$$\frac{\displaystyle \partial \upsilon(x)}{\displaystyle \partial n} \bigg|_{x=\beta} = \frac{\displaystyle q_{n+1} - q_n}{\displaystyle l_{(n)(n+1)}}.$$) и (6.53$$\frac{\displaystyle \partial \upsilon(x)}{\displaystyle \partial n} \bigg|_{x=\alpha} = \frac{\displaystyle q_0 - q_1}{\displaystyle l_{(0)(1)}}.$$) в граничный интеграл (6.51$$\int_S \upsilon \cdot \nabla \upsilon \,dS = \upsilon(\beta) \cdot \frac{\displaystyle \partial \upsilon(x)}{\displaystyle \partial n} \bigg|_{x=\beta} + \upsilon(\alpha) \cdot \frac{\displaystyle \partial \upsilon(x)}{\displaystyle \partial n} \bigg|_{x=\alpha}.$$), учитывая, что $\upsilon(\alpha) = q_0$ и $\upsilon(\beta) = q_{n+1}$:

Полученное выражение квадратично по вектору узловых значений $\vec{q}$: каждое произведение $q_i \cdot q_j$ отвечает элементу симметричной матрицы граничных условий $B$. Квадраты $q_0^2$ и $q_{n+1}^2$ дают диагональные элементы, а смешанные члены $q_0 \cdot q_1$ и $q_n \cdot q_{n+1}$ распределяются симметрично между двумя позициями. Таким образом, $\int_S \upsilon \cdot \nabla \upsilon \,dS = \vec{q}^T \cdot B \cdot \vec{q}$, где $B$ размера $(n+2) \times (n+2)$ равна:

Она распадается на независимые блоки левой и правой границ, ненулевые только в угловых $2 \times 2$ на узлах $x_0, x_1$ и $x_n, x_{n+1}$:

Сами граничные условия в эту матрицу ещё не входят — они применяются к уже построенной системе отдельно: условие первого рода (Дирихле) разобрано в Приложении K, условие второго рода (Нейман) — в Приложении L.