Математика

Ротор векторного поля

Счастливые детские годы... карусель, ребёнок... две бабушки и два дедушки крутят карусель, а малыш счастливый катается на ней. Вот так начнём наше объяснение векторного оператора «ротор». Давайте немного конкретизируем картину. Карусель — это объект, который вращается вокруг своей оси и соответственно существует в одной плоскости, образуемой системой координат (x,y)(x, y). Карусель представляет собой диск, касательные к которому параллельны осям, проходят в точках (−Δx,0),(Δx,0),(0,−Δy),(0,Δy)(-\Delta x, 0), (\Delta x, 0), (0, -\Delta y), (0, \Delta y), ну а центр карусели находится в центре системы координат. В этих четырёх точках находятся бабушки и дедушки, и они толкают карусель.

Интуитивно понятно, что если оба дедушки и обе бабушки не будут вращать, то карусель вращаться не будет, но также понятно, что если все четверо будут вращать не в одном направлении, а, скажем, дедушки против часовой стрелки, а бабушки по часовой, то при условии равенства их сил карусель опять не будет вращаться... а малыш, наверно, плакать. Хм...

Угловая скорость, которую придают карусели, будет равна отношению разности линейных скоростей к расстоянию от центра до точки приложения этих скоростей

V(Δx,0)−V(−Δx,0)Δx\displaystyle \dfrac{V_{(\Delta x, 0)} - V_{(-\Delta x, 0)}}{\Delta x}​−V(0,Δy)−V(0,−Δy)Δy\displaystyle {} - \dfrac{V_{(0, \Delta y)} - V_{(0, -\Delta y)}}{\Delta y}
(1)

Теперь устремим радиус карусели в нуль и перейдём от конечных разностей к производным. Таким образом, величина вектора угловой скорости карусели будет определяться значением

ωz\displaystyle \omega_z =∂Vy∂x\displaystyle {} = \dfrac{\partial V_y}{\partial x}​−∂Vx∂y\displaystyle {} - \dfrac{\partial V_x}{\partial y}
(2)

Вспоминая правило правой руки, получим следующую тройку векторов (x,y,z),(y,z,x),(z,x,y)(x,y,z), (y,z,x), (z,x,y). Перепишем вышеприведённую формулу в векторном виде

(ωx,ωy,ωz)\displaystyle (\omega_x, \omega_y, \omega_z) =(∂Vz∂y\displaystyle {} = \biggl( \dfrac{\partial V_z}{\partial y}​−∂Vy∂z,∂Vx∂z\displaystyle {} - \dfrac{\partial V_y}{\partial z}, \dfrac{\partial V_x}{\partial z}​−∂Vz∂x,∂Vy∂x\displaystyle {} - \dfrac{\partial V_z}{\partial x}, \dfrac{\partial V_y}{\partial x}​−∂Vx∂y)\displaystyle {} - \dfrac{\partial V_x}{\partial y} \biggr)
(3)

Полученный вектор угловых скоростей и называется ротором

rot F\displaystyle rot \space F =(∂Fz∂y\displaystyle {} = \biggl( \dfrac{\partial F_z}{\partial y}​−∂Fy∂z,∂Fx∂z\displaystyle {} - \dfrac{\partial F_y}{\partial z}, \dfrac{\partial F_x}{\partial z}​−∂Fz∂x,∂Fy∂x\displaystyle {} - \dfrac{\partial F_z}{\partial x}, \dfrac{\partial F_y}{\partial x}​−∂Fx∂y)\displaystyle {} - \dfrac{\partial F_x}{\partial y} \biggr)
(4)

Ротор показывает, насколько в конкретной точке поле закручивается, например, поле закручивается вокруг проводника с током. Вообще говоря, ротор может быть представлен как векторное произведение вектора на оператор набла

rot F\displaystyle rot \space F =∇×F\displaystyle {} = \nabla × F
(5)