Что будем анализировать

Надо бы определиться с классом задач, которые подвергнем анализу.

Четырехмерное пространство-время. Три измерения пространства и одно времени. Причем время мы не можем повернуть вспять, оно всегда движется в одном направлении. Наша реальность, не так ли? А значит все объекты, которые мы будем анализировать, существуют в этом мире и на них накладываются соответствующие ограничения.

Я не умею работать с теорией относительности, поэтому без нее обойдемся. Если не брать теорию относительности, то можно конечно ввести еще измерения, типа рассматривать не только положение объекта в пространстве, но и его импульс, что добавляет еще три измерения по импульсу. Не помню, но где-то слышал, что такое удобно, для анализа каких-то систем. В общем это тоже не будем рассматривать, не разбираюсь в этом вообще.

Что значит анализ. Наверно речь о характеристиках. Системы разные и характеристики у них тоже разные, где давление, где температура, где индукция и т.д. Сами по себе характеристики конечно важны и дают количественную оценку состояния, но куда интереснее наблюдать за изменением этих характеристик причем хоть в пространстве, хоть во времени. А это уже следующий уровень абстракции над характеристиками и тут все более-менее стандартизовано. Почему стандартизовано? А потому, что "изменение" представляет собой общее понятие и для температуры и для индукции и вообще есть ограниченный набор аргументов, по которым это изменение анализируется, а именно это наше пространство-время. Изменение позволяет посмотреть на систему с точки зрения ее взаимодействия с другими системами. Если смотреть на изменение во времени, то мы приходим к определению динамики. Если нас вообще не интересует изменение характеристик в пространстве, то мы приходим к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Если нас интересует пространственная компонента характеристик, то к задачам в частных производных. Вот второй класс задач мне и интересен в наибольшей степени. Их мы будем изучать и анализировать.

Задачи в частных производных чаще всего формулируются как краевые задачи, где под краями понимается интервал времени и границы объектов. Соответственно краевые условия представляют некое начальное состояние системы и условия на границах системы. Сами граничные условия тоже могут быть уравнениями в частных производных.

Давайте теперь с другой стороны посмотрим на краевую задачу, не как на математическую модель системы, а как, например, на кусок кабеля, по которому течет высокочастотный ток и наблюдается эффект вытеснения тока. Что мы видим? Материал, из которого сделан кабель и законы Максвелла, которые описывают процессы. Причем законы задают структуру процессов, а параметры определяют... параметры. Таким образом, каким бы ни был кабель, процессы в нем протекают одинаково, соответственно мы можем получить ансамбль решений для любого кабеля, а потом конкретизировать для кабеля из конкретного материала. Тут, однако есть подвох, не всегда мы можем получить ансамбль до конкретизации, зачастую мы можем лишь расписать алгоритм определения ансамбля, но вот конкретное решение можем получить только после конкретизации материала и последующего исполнения алгоритма. Это я про численное решение уравнений. Нас интересуют именно численные алгоритмы.

Теперь сосредоточимся на конкретной точке, на конкретном состоянии. Что в этой точке интересного? Например, в вихре под крылом самолета интересно направление движения молекул воздуха. А для проводника, по которому течет высокочастотный ток, интересна температура. Я к чему клоню? К тому, что мы можем анализировать и векторные и скалярные характеристики или давайте назовем это полями. Векторное и скалярное поле. Причем зачастую эти поля связаны, к примеру если мы рассматриваем напряженность в точке, то мы мыслим о ней, как о скаляре, а если мы посмотрим на изменение этой напряженности, то есть на дивергенцию, то это уже вектор. Вот так)

Итак, подведу итог. Меня интересуют: