Ротор

Счастливые детские годы... карусель, ребенок... две бабушки и два дедушки крутят карусель, а малыш счастливый катается на ней. Вот так начнем наше объяснение векторного оператора "ротор". Давайте немного конкретизируем картину. Карусель - это объект, который вращается вокруг своей оси и соответственно существует в одной плоскости, образуемой системой координат (x, y). Карусель представляет собой диск, касательные к которому параллельные осям, проходят в точках (-\Delta x, 0), (\Delta x, 0), (0, -\Delta y), (0, \Delta y), ну а центр карусели находится в центре системы координат. В этих четырех точках находятся бабушки и дедушки и они толкают карусель.

Интуитивно понятно, что если оба дедушки и обе бабушки не будут вращать, то карусель вращаться не будет, но, также понятно, что если все четверо будут вращать не в одном направлении, а скажем дедушки против часовой стрелки, а бабушки по часовой, то при условии равенства их сил карусель опять не будет вращаться... а малыш наверно плакать. Хм...

Угловая скорость, которую придают карусели будет равна отношению разности линейных скоростей на расстояние от центра до точки приложения этих скоростей

\dfrac{V_{(\Delta x, 0)} - V_{(-\Delta x, 0)}}{\Delta x} - \dfrac{V_{(0, \Delta y)} - V_{(0, -\Delta y)}}{\Delta y}.
(1)

Теперь устремим радиус карусели в нуль и перейдем от конечных разностей к производным. Таким образом величина вектора угловой скорости карусели будет определяться значением

\omega_z = \dfrac{\partial V_y}{\partial x} - \dfrac{\partial V_x}{\partial y}.
(2)

Вспоминая правило правой руки, получим следующий тройки векторов (x,y,z), (y,z,x), (z,x,y). Перепишем вышеприведенную формулу в векторном виде

(\omega_x, \omega_y, \omega_z) = \left(\dfrac{\partial V_z}{\partial y} - \dfrac{\partial V_y}{\partial z}, \dfrac{\partial V_x}{\partial z} - \dfrac{\partial V_z}{\partial x}, \dfrac{\partial V_y}{\partial x} - \dfrac{\partial V_x}{\partial y}\right).
(3)

Полученный вектор угловых скоростей и называется ротором

rot \space F = \left(\dfrac{\partial F_z}{\partial y} - \dfrac{\partial F_y}{\partial z}, \dfrac{\partial F_x}{\partial z} - \dfrac{\partial F_z}{\partial x}, \dfrac{\partial F_y}{\partial x} - \dfrac{\partial F_x}{\partial y}\right).
(4)

Ротор показывает насколько в конкретной точке поле закручивается, например поле закручивается вокруг проводника с током. Вообще говоря ротор может быть представлен как векторное произведение вектора на оператор набла

rot \space F = \nabla × F.
(5)