Когда мы рассматривали дивергенцию, то пришли к пониманию того, что она позволяет по векторному полю получить скалярное, например по векторам напряженности электрического поля получить распределение заряда. Градиент же по сути позволяет наоборот из скалярного поля получить векторное. Давайте порассуждаем на эту тему.

Что такое производная всем понятно, например для функции f(x) производная будет выглядеть как g(x) = f^{\prime}(x), то есть представлять собой тоже функцию того же аргумента. А смысл такой - показать степень изменения значения функции. В трехмерном пространстве функция зависит от трех аргументов, соответственно в конкретной точке производная тоже должна зависеть от трех аргументов. Это все хорошо, возьмем частные производные, а дальше что, сложить их или умножить?

О чем говорит отрицательная производная? О том же, о чем говорит отрицательное ускорение - скорость начинает падать, то есть она может быть и не меньше нуля, но падает. Так вот производная для функции одной переменной показывает растет функция или падает, то есть показывает направление изменения. Это важно! В трехмерном пространстве мы должны тоже знать направление изменения. То есть из частных производных сформируем вектор, который и называется градиентом.

где (\bold{i}, \bold{j}, \bold{k}) - направляющие вектора системы координат.

Удобно записывать градиент как оператор набла от значения скалярного поля в точке