Операторы теории поля в криволинейных координатах
дата публикации: 2016-04-17

Вопрос, который будет рассмотрен в этой статье, конечно давно известен и любой уважающий себя специалист технических наук должен знать, что такое дивергенция, ротор, градиент, лапласиан и т.д. Поэтому без дополнительных разъяснений приведу формулы для трехмерного пространства в прямоугольной системе координат:

\begin{aligned} & \nabla \cdot \overrightarrow{F} = div \overrightarrow{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}, \\ & \nabla \times \overrightarrow{F} = rot \overrightarrow{F} = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \right) \overrightarrow{i} + \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \overrightarrow{j} + \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \overrightarrow{k}, \\ & \nabla \overrightarrow{F} = grad \overrightarrow{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} \overrightarrow{i} + \frac{\partial F_y}{\partial y} \overrightarrow{j} + \frac{\partial F_z}{\partial z} \overrightarrow{k}, \\ & \Delta \overrightarrow{F} = \nabla \cdot (\nabla \overrightarrow{F}) = \frac{\partial^2 F_x}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 F_y}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 F_z}{\partial z^2}, \end{aligned}

где \Delta - лапласиан, \nabla - набла, \overrightarrow{F} - произвольный вектор.

Для произвольной криволинейной ортогональной системы координат в трехмерном пространстве верны следующие формулы для базиса:

e_1 = \left( \frac{1}{\sqrt{E_1}}, 0, 0 \right); e_2 = \left( 0, \frac{1}{\sqrt{E_2}}, 0 \right); e_3 = \left( 0, 0, \frac{1}{\sqrt{E_3}} \right).

Для прямоугольной ортогональной системы координат в трехмерном пространстве верны следующие формулы для базиса:

e_x = \left( 1, 0, 0 \right); e_y = \left( 0, 1, 0 \right); e_z = \left( 0, 0, 1 \right).

Для цилиндрической ортогональной системы координат в трехмерном пространстве верны следующие формулы для базиса:

e_r = \left( 1, 0, 0 \right); e_{\phi} = \left( 0, \frac{1}{r}, 0 \right); e_z = \left( 0, 0, 1 \right).

Для сферической ортогональной системы координат в трехмерном пространстве верны следующие формулы для базиса:

e_r = \left( 1, 0, 0 \right); e_{\phi} = \left( 0, \frac{1}{r \cdot cos(\theta)}, 0 \right); e_{\theta} = \left( 0, 0, \frac{1}{r} \right).

Формулы градиента для обобщенной, цилиндрической и сферической систем координат примут следующий вид:

\begin{aligned} & \nabla \overrightarrow{F} = \frac{1}{\sqrt{E_1}} \frac{\partial F_x}{\partial x} \overrightarrow{i} + \frac{1}{\sqrt{E_2}} \frac{\partial F_y}{\partial y} \overrightarrow{j} + \frac{1}{\sqrt{E_3}} \frac{\partial F_z}{\partial z} \overrightarrow{k}, \\ & \nabla \overrightarrow{F} = \frac{\partial F_r}{\partial r} \overrightarrow{i} + \frac{1}{r} \frac{\partial F_{\phi}}{\partial \phi} \overrightarrow{j} + \frac{\partial F_z}{\partial z} \overrightarrow{k}, \\ & \nabla \overrightarrow{F} = \frac{\partial F_r}{\partial r} \overrightarrow{i} + \frac{1}{r \cdot cos(\theta)} \frac{\partial F_{\phi}}{\partial \phi} \overrightarrow{j} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial F_{\theta}}{\partial \theta} \overrightarrow{k}. \end{aligned}

Формулы дивергенции для обобщенной, цилиндрической и сферической систем координат примут следующий вид:

\begin{aligned} & \nabla \cdot \overrightarrow{F} = \frac{1}{\sqrt{E_x \cdot E_y \cdot E_z}} \left( \frac{\partial (\sqrt{E_y \cdot E_z} \cdot F_x)}{\partial x} + \frac{\partial (\sqrt{E_x \cdot E_z} \cdot F_y)}{\partial y} + \frac{\partial (\sqrt{E_x \cdot E_y} \cdot F_z)}{\partial z} \right), \\ & \nabla \cdot \overrightarrow{F} = \frac{1}{r} \left( \frac{\partial (r \cdot F_r)}{\partial r} + \frac{\partial F_{\phi}}{\partial \phi} \right) + \frac{\partial F_z}{\partial z}, \\ & \nabla \cdot \overrightarrow{F} = \frac{1}{r^2 \cdot cos(\theta)} \left( cos(\theta) \cdot \frac{\partial (r^2 \cdot F_r)}{\partial r} + r \cdot \frac{\partial F_{\phi}}{\partial \phi} + r \cdot \frac{\partial (cos(\theta) \cdot F_{\theta})}{\partial \theta} \right). \end{aligned}

Формулы лапласиана для обобщенной, цилиндрической и сферической систем координат примут следующий вид:

\begin{aligned} & \Delta \overrightarrow{F} = \frac{1}{\sqrt{E_x \cdot E_y \cdot E_z}} \left( \frac{\partial \left( \sqrt{\frac{E_y \cdot E_z}{E_x}} \cdot \partial F_x / \partial x \right) }{\partial x} + \frac{\partial \left( \sqrt{\frac{E_x \cdot E_z}{E_y}} \cdot \partial F_y / \partial y \right) }{\partial y} + \frac{\partial \left( \sqrt{\frac{E_x \cdot E_y}{E_z}} \cdot \partial F_z / \partial z \right) }{\partial z} \right), \\ & \Delta \overrightarrow{F} = \frac{1}{r} \frac{\partial (r \cdot \partial F_r / \partial r)}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 F_{\phi}}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 F_z}{\partial z^2}, \\ & \Delta \overrightarrow{F} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial (r^2 \cdot \partial F_r / \partial r)}{\partial r} + \frac{1}{r^2 \cdot cos^2(\theta)} \frac{\partial^2 F_{\phi}}{\partial \phi^2} + \frac{1}{r^2 \cdot cos(\theta)} \frac{\partial (cos(\theta) \cdot \partial F_{\theta} / \partial \theta)}{\partial \theta}. \end{aligned}

Формулы ротора для обобщенной, цилиндрической и сферической систем координат примут следующий вид:

\begin{aligned} & \nabla \times \overrightarrow{F} = \frac{1}{\sqrt{E_y \cdot E_z}} \left( \frac{\partial ( \sqrt{E_z} \cdot F_z)}{\partial y} - \frac{\partial ( \sqrt{E_y} \cdot F_y)}{\partial z} \right) \overrightarrow{i} + \\ & + \frac{1}{\sqrt{E_x \cdot E_z}} \left( \frac{\partial ( \sqrt{E_x} \cdot F_x)}{\partial z} - \frac{\partial ( \sqrt{E_z} \cdot F_z)}{\partial x} \right) \overrightarrow{j} + \frac{1}{\sqrt{E_x \cdot E_y}} \left( \frac{\partial ( \sqrt{E_y} \cdot F_y)}{\partial x} - \frac{\partial ( \sqrt{E_x} \cdot F_x)}{\partial y} \right) \overrightarrow{k}, \\ & \nabla \times \overrightarrow{F} = \frac{1}{r} \left( \frac{\partial F_z}{\partial \phi} - r \frac{\partial F_{\phi}}{\partial z} \right) \overrightarrow{i} + \left( \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r} \right) \overrightarrow{j} + \frac{1}{r} \left( \frac{\partial ( r \cdot F_{\phi})}{\partial r} - \frac{\partial F_r}{\partial \phi} \right) \overrightarrow{k}, \end{aligned}\begin{aligned} & \nabla \times \overrightarrow{F} = \frac{1}{r \cdot cos( \theta )} \left( \frac{\partial F_{\theta}}{\partial \phi} - \frac{\partial (cos( \theta ) \cdot F_{\phi})}{\partial \theta} \right) \overrightarrow{i} + \frac{1}{r} \left( \frac{\partial F_r}{\partial \theta} - \frac{\partial (r \cdot F_{\theta})}{\partial r} \right) \overrightarrow{j} + \\ & + \frac{1}{r} \left( \frac{\partial ( r \cdot F_{\phi})}{\partial r} - \frac{1}{cos( \theta )} \frac{\partial F_r}{\partial \phi} \right) \overrightarrow{k}. \end{aligned}

Цель достигнута - уравнения выведены.