Общая суть законов Максвелла
дата публикации: 2016-04-14

Для начала любого исследования в области электричества необходимо четкое понимание основополагающих законов. Для электромагнитного поля это законы Максвелла. Используя эти априорные знания, следует выводить частные случаи, которые уже имеют практический интерес. Итак, последовательно рассмотрим все законы Максвелла (в обычной и интегральной формах), вникая в суть, а не детали.

1. Закон Гаусса:

\begin{aligned} & \nabla \cdot \overrightarrow{D} = \rho, \\ & \oint \overrightarrow{D}\cdot dS=\int \rho \cdot dv, \end{aligned}

где \rho - плотность электрического заряда в пространстве, \overrightarrow{D} - вектор электрической индукции, dS - площадь, ограничивающая объем dv , который содержит в себе электрический заряд - источник электрической индукции, \nabla = \frac{\partial}{\partial x}\overrightarrow{i} + \frac{\partial}{\partial y}\overrightarrow{j} + \frac{\partial}{\partial z}\overrightarrow{k} - оператор "набла". Скалярное произведение \nabla на произвольный вектор F называется дивергенцией \nabla \cdot F = div F = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} .

Суть закона Гаусса заключается в том, что источником электростатического поля является электрический заряд и ничего более Q=\int \rho \cdot dv , который в общем случае распределен в пространстве и задан плотностью. Линии электрической индукции замыкаются на области, содержащие заряд и не замыкаются сами на себе, что очень важно.

2. Закон Гаусса для магнитного поля:

\begin{aligned} & \nabla \cdot \overrightarrow{B} = 0, \\ & \oint \overrightarrow{B}\cdot dS = 0, \end{aligned}

где \overrightarrow{B} - вектор магнитной индукции, dS - площадь, ограничивающая объем, который содержит в себе магнитный заряд - источник магнитной индукции.

Суть этого закона состоит в том, чтобы показать, что магнитного заряда не существует, а линии магнитной индукции замыкаются сами на себя.

3. Закон индукции Фарадея:

\begin{aligned} & \nabla \times \overrightarrow{E} = -\frac {\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}, \\ & \oint \overrightarrow{E}\cdot dl = -\frac {d}{dt} \int \overrightarrow{B}\cdot dS, \end{aligned}

где \overrightarrow{E} - вектор напряженности электрического поля, dl - кривая, ограничивающая площадь dS , через которую проходят линии магнитной индукции, векторное произведение \nabla на произвольный вектор F называется ротором \nabla \times F = rot F = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \right) \overrightarrow{i} + \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) \overrightarrow{j} + \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \overrightarrow{k} .

Суть закона Фарадея в том, что он связывает магнитное поле и электрическое, а именно каким образом магнитное поле производит электрическое.

4. Теорема о циркуляции магнитного поля:

\begin{aligned} & \nabla \times \overrightarrow{H} = \overrightarrow{j} + \frac {\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}, \\ & \oint \overrightarrow{H}\cdot dl = I + \frac {d}{dt} \int \overrightarrow{D}\cdot dS, \end{aligned}

где \overrightarrow{H} - вектор напряженности магнитного поля, I=\int \overrightarrow{j} \cdot ds - электрический ток.

Суть теоремы о циркуляции магнитного поля в том, чтобы показать как электрический ток и изменение электрической индукции порождают магнитное поле.

Таким образом, все четыре уравнения показывают обобщенное поведение электромагнитного поля в пространстве. Понятно, что для того, чтобы решить эти уравнения требуется задавать граничные условия, требуется приводить уравнения к частному виду для конкретной среды, а только после этого численно интегрировать. Однако, даже в приведенном выше виде уравнения дают представление о поведении электромагнитного поля в пространстве.